La réalité des nombres imaginaires | Le jeu des sciences

Notre « photon ivre » de la semaine dernière doit parcourir 700 000 kilomètres pour aller du centre du Soleil à sa surface, soit 70 000 millions de centimètres ; Par conséquent, selon la formule d = √n, où d est la distance du point de départ et n est le nombre de pas unitaires pris au hasard, le photon devra faire 4 900 billions de pas aléatoires d’un centimètre, ce qui correspond à cela lui prendra, malgré son énorme vitesse de 300 000 kilomètres par seconde, environ 5 000 ans. Si cela semble beaucoup, il s’agit d’une estimation très basse : selon d’autres estimations, les photons mettent entre 100 000 et 150 000 ans pour quitter le Soleil.

J’ai découvert la comparaison de l’ivrogne faisant des pas d’un centimètre, dans mon enfance, dans le livre fascinant de George Gamow. Un, deux, trois… l’infini, un livre écrit il y a quatre-vingts ans qui n’a pas perdu un peu de son intérêt (même si certains théorèmes dont il parle, déjà prouvés, étaient encore à l’époque des conjectures, comme le théorème topologique des quatre couleurs). Et ce n’était pas la seule surprise que me réservait ce traité des merveilles : j’y découvrais aussi, entre autres choses, combien pouvaient être utiles les nombres imaginaires, ces impossibles racines carrées des nombres négatifs que Leibniz définissait comme « une sorte d’amphibien ». entre l’être et le néant », et que Descartes a baptisé avec mépris du nom qui a prévalu (en parlant de Gamow, la même chose s’est produite avec le Big Bang : un nom moqueur a fini par devenir le nom officiel de sa théorie correcte).

Le trésor imaginaire

L’une des histoires instructives racontées dans le livre de Gamow, qui a beaucoup à voir avec ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, est la suivante :

Il était une fois un jeune homme intrépide qui trouva parmi les papiers de son arrière-grand-père un parchemin révélant l’emplacement d’un trésor enfoui. Après avoir donné la longitude et la latitude d’une île déserte, le parchemin disait :

« Sur la côte nord de l’île, il y a une prairie où vous verrez un chêne et un pin solitaires. Vous verrez également une vieille potence, à laquelle étaient autrefois pendus les traîtres. En partant de la potence, marchez jusqu’au chêne en comptant les pas. Sous le chêne, il faut tourner à droite à angle droit et faire le même nombre de pas. Enfoncez un pieu dans le sol. Puis il retourne à la potence et, de là, se dirige vers le pin en comptant ses pas. Sous le pin, il faut tourner à gauche à angle droit et faire le même nombre de marches que pour y accéder depuis la potence. Enfoncez un autre pieu dans le sol. Creuse à mi-chemin entre les deux pieux et tu trouveras le trésor.

Les instructions étaient claires et simples, alors le jeune homme intrépide a affrété un bateau et a navigué vers l’île déserte. Il trouva le pré, le chêne et le pin, mais, à son grand regret, il constata que la potence manquait. Trop de temps s’était écoulé depuis la rédaction des instructions ; La pluie, le soleil et le vent avaient désagrégé le bois et il ne restait plus la moindre trace de l’endroit où il se trouvait.

Notre jeune aventurier se désespéra et, dans un accès de colère, il se mit à creuser au hasard. Mais le pré était trop grand et leurs efforts furent vains. Il est donc revenu les mains vides, et le trésor est probablement toujours là.

Une triste histoire. Mais ce qui rend la chose encore plus triste, c’est que l’intrépide jeune homme aurait pu trouver le trésor s’il avait connu un peu plus les mathématiques et, plus précisément, s’il avait su utiliser correctement les nombres imaginaires.

Qu’auriez-vous fait à sa place ?

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