Théorème de Napoléon | Le jeu des sciences

Comme nous l’avons vu la semaine dernière, les nombres complexes, en plus de servir à découvrir des trésors enfouis, constituent, malgré leur statut ontologique incertain, un outil mathématique puissant.

Avec une approche similaire à celle de la localisation de trésors enfouis, de nombreux théorèmes géométriques peuvent être prouvés, comme le fameux « théorème de Napoléon ». Les guillemets indiquent que le nom ne doit pas être compris littéralement, car il est très douteux que l’auteur du théorème soit réellement Napoléon Bonaparte. Coxeter et Greitzer, dans leur livre La géométrie revisitée, déclarent que “la possibilité que Napoléon connaisse suffisamment de géométrie pour obtenir ce résultat est aussi discutable que s’il connaissait suffisamment l’anglais pour composer le célèbre palindrome ABLE WAS I ERE I SAW ELBA (J’étais intelligent avant de voir l’Elbe).” Il est plus probable que le théorème ait été prouvé par son ami Lorenzo Mascheroni, ou par certains autres mathématiciens illustres avec lesquels Bonaparte côtoyait, comme Laplace, Lagrange ou Fourier. Et certains pensent que cela aurait pu être démontré, cent ans plus tôt, par Torricelli ou Fermat, qui étudiaient des constructions géométriques très similaires. En tout cas, il est entré dans l’histoire sous le nom de théorème de Napoléon, et il se présente ainsi :

Si sur les trois côtés d’un triangle quelconque on construit deux triangles équilatéraux extérieurs (ou intérieurs), les centres desdits triangles sont à leur tour les sommets d’un triangle équilatéral (appelé triangle de Napoléon).

En plaçant le problème sur le plan complexe, comme nous l’avons fait avec la carte au trésor, il est facile de prouver le théorème ; mais elle peut aussi être attaquée avec d’autres outils, comme la géométrie analytique, la trigonométrie ou à partir de certaines symétries. J’invite mes lecteurs avisés à tenter de prouver le théorème de Napoléon avec leur outil favori.

Et après l’avoir prouvé – ou tenu pour acquis – il n’est pas difficile de prouver que le centre du triangle de Napoléon coïncide avec le barycentre du triangle d’origine (rappelons que le barycentre, centroïde ou centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes) .

Le problème de Napoléon

Il ne faut pas confondre le théorème de Napoléon avec le problème de Napoléon, proposé par lui et résolu par Mascheroni, qui consiste à diviser un cercle en quatre parties égales (ou, ce qui revient au même, à trouver les sommets du carré inscrit) à l’aide d’un seul compas (est-ce que vous oserez-vous l’essayer ?). Mascheroni l’a inclus dans son livre Géométrie de la boussole (1797), dans lequel il montre que toute construction géométrique pouvant être réalisée avec une règle et un compas peut également être réalisée avec un compas seul. À propos, Mascheroni a dédié son livre influent à son ami et protecteur Napoléon Bonaparte.

Il y a aussi quelques problèmes d’échecs liés à Napoléon, qui était un grand fan de ce jeu et un joueur d’échecs plus qu’acceptable. L’un des plus célèbres est un final artistique composé par Alexander Petroff au XIXe siècle. L’auteur l’a baptisée « La retraite de Napoléon », car elle s’inspire de la défaite de l’armée française lors de la bataille de Moscou en 1812 (si vous trouvez la solution, vous comprendrez pourquoi).

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