Résolvez l’équation juste au-dessus de 10000 degrés

Définissez l’équation exactement, sans additionner explicitement :

Clear[n, equ];
equ[n_, b_, v_] = -b + (1 - b) Sum[v^i, {i, n - 1}] // FullSimplify
(*    (b - v + v^n - b v^n)/(-1 + v)    *)

Insérez la valeur souhaitée de $b$ et simplifier :

equ[n, (n - 2)/n, v] // FullSimplify
(*    (2 + n (-1 + v) - 2 v^n)/(n - n v)    *)

Mettez le numérateur à zéro et résolvez :

vv[n_Integer] := SolveValues[2 + n (-1 + v) - 2 v^n == 0 && 0 < v < 1, v]

C’est rapide (~milliseconde) même pour de très grandes valeurs de $n$:

vv[10^6]
(*    Root around 0.999998...    *)

Convertissez l’objet Root en valeur numérique :

vv[10^6] // N
(*    {0.999998}    *)

Il n’y a pas de solution fermée que Mathematica puisse trouver ; mais on peut trouver un développement asymptotique pour $nàinfty$:

w[n_] = 1 + k1 n^-1 + k2 n^-2 + k3 n^-3 /.
  {k1 -> -2 - q,
   k2 -> (q (2 + q)^2)/(2 (1 + q)),
   k3 -> -((q (2 + q)^3 (-2 + q (-1 + 4 q)))/(24 (1 + q)^3))} /. 
  q -> ProductLog[-2/E^2];

Regarde que cette solution vérifie asymptotiquement l’équation : (en fait, c’est comme ça que j’ai trouvé ses coefficients $k_j$):

Series[equ[n, (n - 2)/n, w[n]], {n, ∞, 2}] // FullSimplify
(*    O[1/n]^3    *)

Vérifiez les valeurs :

vv[100] // N
(*    {0.983977}    *)

w[100] // N
(*    0.983977    *)

Coefficients numériques du développement asymptotique :

w[n] // N
(*    1 - 1.59362/n - 0.869277/n^2 - 0.305667/n^3    *)