Les mathématiques du 24 | Le jeu des sciences

Pour aborder 2024 sans rien inachevé, commençons par voir les solutions aux énigmes du maître Raymond Smullyan proposées dans les deux volets précédents.

Dans la première des énigmes, si le signe II est faux il y a une dame derrière la porte I, et donc derrière au moins une porte il y a une dame, alors le signe I est vrai. Par conséquent, les deux signes ne peuvent pas être faux, donc les deux sont vrais, donc il y a un tigre derrière la porte I et une dame derrière la porte II.

Dans la deuxième énigme, les signes II et III font des déclarations qui s’excluent mutuellement, donc l’un des deux est vrai. Et comme au plus un des trois signes est vrai, le premier est faux, alors la dame est derrière la porte I.

Quant à la troisième des énigmes, inspirée de l’histoire d’Edgar Allan Poe La méthode du Dr Brea et le professeur Pluma (également traduit en espagnol par La méthode du Dr Alquitrán et du professeur Trapaza), je me limiterai à donner la solution (le développement est trop long pour l’inclure dans son intégralité), que ceux qui connaissent la troublante histoire de Poe auront deviné sans avoir à la résoudre : dans cette maison de fous sens dessus dessous, tous les supposés les médecins sont fous et tous les supposés patients sont sains d’esprit, car – selon Poe – à un moment donné, les fous se sont révoltés, ont goudronné et emplumé le personnel du centre (d’où les noms Brea et Pluma) et les ont enfermés dans les cellules correspondantes.

Le problème du boulet de canon

Le nombre 2024 n’a pas beaucoup d’utilité d’un point de vue mathématique (n’est-ce pas ?), contrairement à sa terminaison, 24, qui n’a pas de déchet et qui apparaît continuellement dans le langage familier du simple fait que la journée est divisée en 24 heures. (savez-vous ou pouvez-vous en déduire pourquoi ?). Et bien que la plupart des montres divisent leur cadran en 12 parties pour plus de commodité, puisqu’il n’est généralement pas difficile de distinguer le jour de la nuit, il existe encore des horloges historiques (notamment astronomiques) dont le cadran est divisé en 24 secteurs.

D’un point de vue mathématique, 24 est un nombre très abondant et très composé, c’est un nombre pratique, c’est un nombre Harshad, c’est un nombre refactorisable… Et je suis sûr que mes lecteurs avisés y trouveront des propriétés plus notables dedans.

Et comme si cela ne suffisait pas, 24 est la seule solution non triviale au fameux problème du boulet de canon, que nous avons abordé à l’occasion. Le problème soulève la question de savoir quels nombres sont à la fois des carrés et des carrés pyramidaux. Rappelons qu’un nombre pyramidal carré correspond à un empilement pyramidal de sphères à base carrée, comme on empilait autrefois les boulets de canon, sa séquence est donc 1, 5, 14, 30, 55, 91…

Ce serait trop vous demander de prouver que 24 est la seule solution non triviale (la plus triviale est 1, évidemment) au problème du boulet de canon, qui n’a été démontré qu’en 1918 par GN Watson, longtemps après avoir été posé par le grand Le mathématicien français Édouard Lucas — utilisant des fonctions elliptiques ; mais ce n’est pas trop vous demander de démontrer que 24 est effectivement une solution.

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