Les mathématiciens découvrent la “chemise”, le motif qui ne se répète jamais

– Je n’en avais aucune idée, monsieur. C’est à propos de qui?

– Il s’appelle Ein Stein et il m’a fallu presque toute une vie pour le retrouver.

– C’est à propos de qui? Avez-vous des photos de vous là-bas?

– Oui, je l’ai juste ici, c’est à ça qu’il ressemble, mais ne vous fiez pas à son apparence innocente, ce monsieur nous tient en haleine depuis près de dix décennies.

Alors MacCarnigan a montré à l’agent Pierron la photo de cet Ein Stein, cette photo :

Cette brève histoire des policiers peut sembler une blague, mais si l’on change les détectives pour des mathématiciens, cela devient l’une des plus belles découvertes mathématiques de ces dernières années. Mais pour comprendre l’ampleur de cette histoire, il faut d’abord parler d’un des domaines où les mathématiques et l’art se confondent : les mosaïques.

tuiles périodiques

Nous avons tous vu une mosaïque à un moment donné de notre vie. Ce sont de petites œuvres artistiques ou décoratives qui sont réalisées à partir de petites pièces qui s’emboîtent.

Lorsque nous parlons de mosaïques en mathématiques, nous nous référons généralement à ce que l’on appelle des pavages, qui sont une manière d’arranger des pièces ou des tuiles de sorte que ces pièces aient des bords communs et ne laissent pas de trous.

Il y a longtemps, les mathématiciens et les mathématiques se posaient la question suivante

Avec quel type de pièces puis-je carreler l’avion ?

C’est-à-dire quel type de pièces puis-je utiliser pour que, en les plaçant de manière à ce que les tuiles se touchent sur les côtés communs, il n’y ait pas d’espace dans le plan. Il est clair que les cercles ne font pas partie de ce groupe de sélection, car si je veux carreler le plan en utilisant uniquement des cercles, ils me laisseront des trous. Allez, je vais devoir mettre du coulis fixe.

Cependant, il existe de nombreuses autres formes avec lesquelles nous pouvons paver le plan, telles que des triangles, des carrés ou des hexagones.

Ou nous pouvons carreler le plan avec des combinaisons de ces chiffres ou d’autres.

Ou vous pouvez même carreler l’avion avec des combinaisons plus extravagantes :

Mais malgré la grande variété de pavages qui ont été présentés, ils ont tous quelque chose en commun, c’est qu’ils sont périodiques. Le terme périodique fait référence au fait qu’il existe une traduction, autre que zéro, qui laisse toute la mosaïque identique. Pour qu’on se comprenne, cela équivaut au fait que si on carre une surface, qu’on ferme les yeux et que quelqu’un déplace toute la mosaïque dans une certaine direction puis qu’on rouvre les yeux, on sera incapable d’apprécier la différence entre la mosaïque d’origine et celle déplacée. .

tuiles non périodiques

Contrairement aux pavages périodiques, nous trouvons des pavages non périodiques, qui sont ceux pour lesquels il n’y a pas de translation, pas nulle, qui laisse la mosaïque avec le même aspect. Il n’est pas difficile de trouver des mosaïques non périodiques, il suffit, par exemple, de prendre un pavage périodique, pensons, par exemple, formé uniquement de carrés, et un seul carré de toute la mosaïque est divisé en deux triangles . De toute évidence, il s’agit toujours d’une mosaïque du plan, mais il n’y aura pas de translation qui laissera les tesselles entières identiques, car nous pourrons distinguer la mosaïque d’origine de sa mosaïque déplacée simplement en observant la position modifiée des deux triangles. .

carrelage apériodique

Mais c’est maintenant que les choses deviennent intéressantes, car c’est quand apparaît le concept de mosaïque apériodique, qui sont celles qui, étant non périodiques, satisfont à la condition supplémentaire qu’elles n’ont pas de régions périodiques arbitrairement grandes. De la même manière, cette idée peut être comprise comme cela dans une mosaïque apériodique, si on prend un morceau assez grand, il ne se répète pas dans le reste de la mosaïque. Il est à noter que l’exemple de mosaïque non périodique décrit ci-dessus n’est pas apériodique puisque l’on peut trouver des régions arbitrairement grandes qui sont périodiques, il suffit de prendre des morceaux arbitrairement grands qui ne comportent aucun des deux triangles.

Alors, la question qui se pose naturellement est la suivante :

Existe-t-il des mosaïques apériodiques ?

Cette question, qui a commencé à être étudiée dans la seconde moitié du siècle dernier, a rapidement reçu une réponse affirmative et l’un des premiers à trouver un pavage apériodique fut Raphael M. Robinson. La mosaïque décrite par Robinson en 1971 est composée des 6 tuiles suivantes.

Quelques années plus tard, également dans les années 1970, Roger Penrose obtient deux pavages apériodiques qui peuvent être construits, chacun utilisant seulement deux tesselles différentes. Le premier de ces pavages est formé de deux losanges différents :

Et il est capable de produire des mosaïques comme celles-ci :

Le second de ces pavages apériodiques est donné par deux pièces dites cerf-volant et flèche, pour des raisons évidentes :

Bon, et maintenant la question que l’on pourrait se poser est la suivante :

Existe-t-il des mosaïques apériodiques formées d’un seul carreau ?

Ce problème est connu sous le nom de problème d’Ein Stein (en allemand pour “une pierre”) et pendant près de 50 ans, il est resté non résolu. Jusqu’en mars dernier !

La découverte de l’Ein Stein

Le 20 mars, des scientifiques David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan et Chaim Goodman-Strauss des universités de Cambridge, Waterloo et Arkansas ont publié les travaux ‘Un monotile apériodique’ dans lequel ils décrivent une forme possible de la tesselle très recherchée qui donne naissance à une mosaïque apériodique d’une seule pièce.

Avec cette tuile unique, qui me semble très similaire à un T-shirt, ils démontrent que des mosaïques apériodiques telles que les suivantes peuvent être construites :

Si le sujet vous intéresse, vous pouvez approfondir cette découverte dans la vidéo suivante,

dans lequel ses découvreurs discutent avec d’autres personnalités de la région, dont le prix Nobel de physique Roger Penrose.

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