Le triangle de Jayam Le jeu des sciences

La semaine dernière, nous nous sommes interrogés sur une formule qui permettrait de trouver le nième nombre tétraédrique en fonction de n sans avoir à additionner les n premiers nombres triangulaires ; Le voici (pouvez-vous le prouver ?) :

Tn = n(n + 1)(n + 2)/6

Dans le cas de n = 22 :

22 x 23 x 24/6 = 2024

La formule confirme donc que 2024 est le vingt-deuxième nombre tétraédrique.

Quant à la deuxième question de la semaine dernière, il y a quatre nombres à la fois tétraédriques et triangulaires, les deux premiers faciles à trouver et les deux autres moins faciles : 10, 120, 1540 et 7140 (est-ce une coïncidence s’ils se terminent tous par 0 ?), qui sont respectivement les troisième, huitième, vingtième et trente-quatrième nombre tétraédrique (ainsi que les 4e, 15e, 55e et 119e nombre triangulaire).

Et concernant la troisième question, la plus difficile (pour ne pas dire impossible au niveau des mathématiques récréatives), il n’existe que trois nombres tétraédriques qui soient des carrés parfaits, comme le démontra AJ Meyl en 1878. Les deux premiers sont triviaux : T1 = 1 et T2 = 4, mais le troisième est difficilement réalisable : T48 = 1402 = 19600.

Dicho sea de paso, el único número tetraédrico que es también un número piramidal cuadrado es el 1, como demostró el matemático holandés Frits Beukers en 1988. Obsérvese el contraste entre la facilidad de encontrar el 1 como número coincidente y la dificultad de demostrar que es l’unique.

Le triangle de Pascal, Tartaglia, Jayam…

Si l’on regarde le fameux triangle de Pascal, également connu sous le nom de triangle de Tartaglia, dans lequel, dans chaque rangée, les nombres entre les 1 latéraux sont la somme des deux juste au-dessus, on voit que la troisième diagonale, à droite et à gauche à gauche, se trouve la séquence de nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28…, tandis que sur la quatrième diagonale nous avons les nombres tétraédriques : 1, 4, 10, 20, 35, 56…

En Occident, ce fascinant triangle numérique est connu sous le nom de triangle de Pascal ou de Tartaglia, en l’honneur du mathématicien français et de l’algébriste italien qui l’a étudié en profondeur ; mais en réalité, cela était déjà connu en Orient bien avant. Au XIe siècle, les mathématiciens persans Al-Karayí et Omar Khayam ont analysé en profondeur ses propriétés, c’est pourquoi en Iran et dans d’autres pays de l’Est, on l’appelle le triangle de Khayam. Et les Chinois, comme dans presque tout, ont leurs propres précurseurs, comme Jia. En Chine, le triangle numérique est connu sous le nom de triangle Yang Hui.

Et si ce triangle porte de nombreux noms, il cache bien d’autres trésors mathématiques. J’invite mes lecteurs avisés à en chercher :

Quel est le rapport entre le triangle Jayam (je préfère l’appeler en l’honneur du grand poète et mathématicien persan) et le nombre e ?

Pouvons-nous y localiser la séquence de Fibonacci ?

Peut-il être utilisé pour déterminer la primalité d’un nombre ?

Cependant, à ma connaissance, et malgré le fait que le nombre π apparaît là où on l’attend le moins, il n’existe aucun moyen de le relier à notre triangle numérique polyvalent. Ou oui?

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