Conceptions combinatoires | Le jeu des sciences

La deuxième strophe d’une sestina, comme nous l’avons vu la semaine dernière, réorganise les fins des six versets de ABCDEF à FAEBDC. Si on applique les mêmes critères pour passer du deuxième au troisième, du troisième au quatrième et ainsi de suite, on obtient la séquence :

ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.

Et si l’on change les majuscules traditionnelles qui, en notation poétique, indiquent les terminaisons des vers de l’art majeur par des nombres et que l’on dispose verticalement les séquences correspondant aux strophes successives, on obtient le schéma suivant :

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

Il n’y a pas de chiffres répétés dans aucune ligne ou colonne, donc le schéma sestina est comme un sudoku réduit, avec les chiffres de 1 à 6 au lieu de 1 à 9. Bien que, pour les mathématiciens, avant un sudoku, il s’agisse d’un carré latin. Et cette fois la poésie aurait pu précéder les mathématiques, puisque les premières sestines ont été composées au XIIe siècle par le troubadour occitan Arnaut Daniel, tandis que les premiers carrés latins (nommés par Euler bien plus tard) dont on a des nouvelles sont les wafq majazi d’après un manuscrit arabe du XIIIe siècle.

Théorie de la conception combinatoire

Quant au problème resté en suspens (connaître de combien de manières sept éléments peuvent être regroupés en sept groupes de trois éléments, s’ils doivent apparaître dans le même nombre de groupes et deux à deux dans un seul groupe), voici la solution apportée par Ignacio Alonso :

« Chaque élément sera en trois trios. Haut. Par exemple, le 7, le trio associé qui contient le 6 sera avec les duos 65, 64… 61 (5 possible). Si le premier est 765, le deuxième associé qui contient le 4 pourrait être 743, 742 ou 741 (3 possibilités) et le troisième associé à 765 et 743 ne peut être que 72. Au total, 5 × 3 = 15 groupes de trois trios possibles qui contiennent le 7. Les quatre trios restants sans le 7, associés à un groupe de ces 15, que ce soit 765, 743, 721, contiennent deux fois le 65, 64… 61. Avec le 6 les possibles sont 642, 631 ou 641 , 632 (2 possibilités), pour chacun de ces deux, par exemple 642, 631, un seul associé, 541, 532, pour compléter ce groupe de quatre trios, alors 15 × 2 = 30 seront les groupes de 7 trios possibles .»

Comme nous l’avons vu, ce problème pourrait être considéré comme une version simplifiée du « problème d’écolière » classique de Kirkman, dont il n’existe que sept solutions non isomorphes (c’est-à-dire de structures non équivalentes). Mais si l’on inclut les solutions isomorphes, le nombre augmente considérablement (saurez-vous le calculer ?).

Ces problèmes – ainsi que les carrés latins – sont liés à ce qu’on appelle la « théorie de la conception combinatoire », développée à partir des contributions pionnières de Leonard Euler, Thomas Kirkman, Jacob Steiner, Édouard Lucas et d’autres grands mathématiciens des XVIIIe et XVIIIe siècles. siècles XIX ; théorie qui, soit dit en passant, doit beaucoup aux mathématiques récréatives. Mais c’est un autre article.

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