Vous pouvez compter sur Pi

Pour les geeks, là Il y a plusieurs belles vacances sur le calendrier. Il y a bien sûr le Jour de la Taupe (23/10) pour commémorer le numéro d’Avogadro, qui est énorme (de l’ordre de 10²³) et extrêmement important en physique. Il y a e Jour (2/7) pour le nombre omniprésent d’Euler (e = 2,718…). Mais le meilleur est le Pi Day, qui a lieu le 14 mars, car l’approximation décimale infiniment longue de pi commence par 3,14. Il y a tellement de choses à dire sur pi : j’écris des articles sur le Pi Day depuis 14 ans. (Voici une liste partielle).

Qu’est-ce que pi (ou comme diraient les Grecs, π) ? Par définition, c’est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle. Il n’est pas évident pourquoi cela devrait être spécial, mais pi apparaît dans un tas d’endroits sympas qui semblent n’avoir rien à voir avec des cercles. Mais l’une des choses les plus étranges à propos de Pi est que c’est un nombre irrationnel. Cela signifie que c’est une valeur qui ne peut pas être exprimée sous forme de fraction de deux nombres entiers. Oh, bien sûr. Le nombre 22/7 (22 ÷ 7) est une bonne approximation, mais ce n’est pas pi.

Mais attendez une seconde. Quand nous disons que pi est irrationnel, tout ce que nous disons en réalité, c’est qu’il est irrationnel dans le système de nombres que nous utilisons, qui est le système base 10, ou décimal. Mais ce système n’a rien d’inévitable. Comme vous le savez probablement, les ordinateurs utilisent un système numérique en base 2, ou binaire. La base 10 a probablement été choisie à l’ère analogique car nous disposons de 10 doigts sur lesquels compter. (Fait amusant : la racine latine de chiffre est doigtqui signifie « doigt ».)

Alors, pourrait-il exister un système numérique dans lequel pi serait rationnel ? La réponse est oui.

Attendez, qu’est-ce qu’un système numérique ?

Passons en revue le fonctionnement d’un système numérique. Imaginez que vous êtes un compteur de haricots à l’époque de Néandertal. Pour chaque grain successif, vous inscrivez un symbole différent sur la paroi de votre grotte. Pour 200 beans, il vous faut 200 symboles. C’est ahurissant, alors vous les appelez des « chiffres ».

Un jour, vous rencontrez un Homo sapiens intelligent qui vous dit : « Vous travaillez trop dur ! » Ils ont un nouveau système avec seulement 10 symboles, écrits de 0 à 9, qui peuvent représenter n’importe quelle quantité de haricots. Une fois que vous atteignez 9, vous vous déplacez simplement d’un endroit vers la gauche et recommencez, où chaque chiffre est maintenant un multiple de 10. Après cela, ce sont des multiples de 100, et ainsi de suite dans des puissances de 10 successivement plus élevées.

Prenez le nombre 214 : nous avons 2 centaines, 1 dizaine et 4 unités. Nous pouvons écrire ce que cela signifie réellement comme suit :