Mathématiques : Coïncidences et probabilités | Le jeu des sciences

La semaine dernière, nous nous sommes demandé si le fait que parmi les neuf premières décimales du nombre e = 2,718281828… le groupe 1828 apparaisse répété a une explication, et la réponse est non : tout comme π, e est un nombre transcendantal, il est c’est-à-dire un irrationnel qui n’est la solution d’aucune équation algébrique et dont les nombres décimaux infinis ne suivent aucun modèle.

Cependant, il y a une explication au fait que la racine carrée de 0,999 est 0,9994 et celle de 0,9999999 est 0,99999994. Je ne vais pas donner la preuve complète, mais voici un bon indice : 0,999 = 1 – 0,001 et 0,9999999 = 1 – 0,0000001.

Dans le même ordre d’idées (même si cela n’en a pas l’air), une autre « coïncidence » peut ne pas l’être : quatre est un carré parfait, et le carré parfait suivant est neuf ; si nous mettons les deux chiffres l’un après l’autre, nous obtenons 49, qui est aussi un carré parfait. Coïncidence?

Le plus grand nombre qui ne peut s’exprimer sous la forme 23x + 28y, x et y étant entiers et positifs, est 593. Je laisse la preuve à mes lecteurs avisés, ainsi que la généralisation si au lieu de partir du couple 23 et 28 on partir de deux entiers positifs quelconques, a et b. Car, soit dit en passant, les nombres choisis par Fliess n’ont rien de spécial : n’importe quel couple servirait à obtenir les résultats « surprenants » qu’il a obtenus avec sa formule. Que quelqu’un de la stature intellectuelle de Freud soit tombé dans ce piège numérologique grossier est une mesure de l’étendue de l’anarithmétisme, même parmi les personnes intelligentes et éduquées.

Quelque chose d’improbable est susceptible de se produire

Pour avoir le sentiment qu’une coïncidence curieuse (ou étrange, étonnante, incroyable…) s’est produite, il faut penser que l’événement surprenant est peu probable. Et il est facile de se tromper en évaluant la probabilité que quelque chose se produise.

Truc mathématique bien connu, mais pour cela il faut le mentionner, animer une grande réunion (disons 30 personnes) consiste à mettre un visage psychique et à annoncer qu’une coïncidence inhabituelle a été perçue : il y a deux personnes dans la réunion célébrant leur anniversaire le même jour. La perception subjective est que cette probabilité est très faible, puisque la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un anniversaire le même jour que vous est de 1/365 (un peu moins si on prend en compte ceux nés le 29 février). . Cependant, la probabilité que sur 30 personnes il y en ait au moins deux avec le même anniversaire est assez élevée (saurez-vous la calculer ?).

S’il n’y a pas de correspondance dans le groupe, il est presque certain qu’il y a au moins deux personnes dont les anniversaires sont très proches, vous pouvez donc affirmer qu’en capturant deux dates aussi proches avec votre perception mentale, vous avez pensé un instant qu’elles étaient le même. Naturellement, à moins que vous ne soyez un escroc, vous devez expliquer le fondement probabiliste de l’astuce, contribuant ainsi à combattre l’anarithmétisme dominant.

Dans le même ordre d’idées, voici une expérience que vous pouvez facilement réaliser avec un jeu de cartes. Supposons qu’il s’agisse d’un jeu espagnol de 40 cartes. Si vous placez les cartes sur la table face visible en les nommant dans l’ordre : as d’or, deux d’or, trois d’or…, la probabilité qu’une carte spécifique, par exemple le sept de coupe, apparaisse dans le le temps de le nommer est de 1 sur 40, très faible. Mais la probabilité qu’une carte donnée apparaisse au moment de la nommer est assez élevée (pouvez-vous la calculer ?) et pourtant cela surprend encore beaucoup de gens, car nous avons tendance à considérer la carte de coïncidence comme cette carte particulière et non comme n’importe laquelle lettre. Quelque chose de similaire se produit avec la loterie : le gagnant sent que quelque chose d’exceptionnel s’est produit, presque invraisemblable. Et pourtant, il était certain que le prix allait correspondre à quelqu’un.

Et c’est que, comme le disait Aristote, tant de choses arrivent continuellement qu’il est hautement probable que des choses hautement improbables se produisent.

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