Mathématiques : 2024 et nombres tétraédriques | Le jeu des sciences

Je dois commencer par corriger une omission : la semaine dernière j’ai parlé de 2024 et des nombres pyramidaux carrés, et je n’ai pas mentionné que 2024 est aussi un nombre pyramidal, bien que non carré mais triangulaire. Heureusement, mes aimables lecteurs sont généralement au courant : Javier Tamames m’a rappelé que 2024 est un nombre tétraédrique (comme on appelle aussi les nombres pyramidaux triangulaires) et Ignacio Larrosa a envoyé une visualisation éloquente sous la forme d’une pyramide triangulaire de sphères empilées, dont les 22 niveaux additionnez jusqu’à 2024.

Une pyramide dont la base est un triangle est un tétraèdre, c’est pourquoi les nombres pyramidaux triangulaires sont également appelés tétraédriques. Si dans la visualisation de l’empilement de sphères on additionne celles de chaque niveau, en commençant par le haut, on obtient la séquence des nombres tétraédriques (correspondant au nombre de sphères des tétraèdres de 1, 2, 3, 4… sphères de chaque côté) : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364…

Les niveaux successifs de la pyramide forment, à leur tour, la séquence de nombres triangulaires (affichables sous forme de triangles équilatéraux de sphères) :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78…

Et, par conséquent, le nième nombre tétraédrique (Tn) est la somme des n premiers nombres triangulaires :

T1 = 1

T2 = 1 + 3 = 4

T3 = 1 + 3 + 6 = 10

T4 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20

T5 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

…

T22 = 1 +3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28… + 210 + 231 + 243 = 2024

Pouvez-vous trouver une formule qui vous permet de déterminer que le vingt-deuxième nombre tétraédrique est 2024 sans avoir à effectuer l’addition longue précédente ?

Un peu plus difficile : en comparant les deux listes ci-dessus, nous constatons une correspondance : 10, ce qui signifie que le troisième nombre tétraédrique est égal au quatrième nombre triangulaire. Pouvez-vous trouver d’autres nombres à la fois triangulaires et tétraédriques ?

Plus difficile encore : parmi les premiers nombres tétraédriques, il y en a deux qui sont des carrés parfaits : 1 et 4. Pouvez-vous en trouver d’autres ou prouver qu’ils n’existent pas ?

Les lettres de Zener

En plus d’être un professeur de vulgarisation scientifique, Martin Gardner démasquait sans relâche les erreurs, les pseudosciences et diverses paranormalités, et utilisait parfois ironiquement les arguments des magufos, ou de leurs instruments, comme matière première pour ses passe-temps mathématiques.

Dans un article intéressant évoqué par Manuel Amorós, Gardner part des lettres de Zener (aujourd’hui tombées dans l’oubli bien mérité, mais autrefois très populaires), utilisées pour évaluer de supposées capacités télépathiques, pour poser un intéressant problème de couverture, qui a soulevé un vif débat. débat entre les lecteurs (voir commentaires de la semaine dernière).

Lequel de ces cinq symboles peut être dessiné une fois sur papier, en supposant qu’ils sont dessinés avec des lignes idéales, sans épaisseur, et qu’ils ne se chevauchent ni ne se coupent ? Les symboles peuvent être de tailles différentes, mais ils doivent être géométriquement similaires. Rappelons qu’alef 1 est l’infinité non dénombrable des nombres réels.

Il s’avère que tous les symboles sauf un peuvent être dessinés aleph 1 fois. Pouvez-vous dire de quoi il s’agit et pourquoi ? Une double question avec deux niveaux de difficulté, car il est relativement facile de démontrer que les quatre symboles dessinables un nombre incalculable (littéralement) de fois le sont, identifiant ainsi, par élimination, celui qui ne l’est pas. Mais démontrer pourquoi il n’en est pas ainsi n’est plus si simple, et Gardner lui-même se limite à esquisser une solution qui n’est pas tout à fait claire.

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