Introduction
La racine carrée d’un nombre complexe z est un nombre complexe w qui satisfait w^2 = z. Tout nombre complexe a exactement deux racines carrées distinctes, sauf 0, pour lequel 0 est la seule racine carrée. Par exemple, les deux racines carrées de -1 sont i et -i, où i est l’unité imaginaire.
Plus généralement, une racine n-ième d’un nombre complexe z est un nombre complexe w qui satisfait w^n = z. À l’exception de 0, tout nombre complexe a exactement n racines n-ièmes distinctes. Par exemple, est une racine cubique de -1.
Les racines n-ièmes de l’unité 1 forment un groupe cyclique d’ordre n pour le produit, noté U_n. Il n’existe pas de détermination continue d’une racine carrée sur C. Plus précisément, il n’existe pas de fonction continue F(z) telle que F(z)^2 = z.
Formules
Les racines carrées peuvent être exprimées en coordonnées cartésiennes ou en coordonnées polaires. En coordonnées polaires, un nombre complexe s’écrit z = r * e^(iθ) où r est positif. Les racines k-ièmes de z sont les nombres complexes w tels que w^k = z. Elles sont au nombre de k et sont explicitement données par la formule w = r^(1/k) * e^(i(θ + (2πn)/k)), pour n variant de 0 à k-1.
Les racines k-ièmes de l’unité 1 peuvent être calculées de la même manière, en fixant r = 1.
Existence
Les formules ci-dessus démontrent l’existence des racines carrées et des racines k-ièmes de l’unité. Le théorème fondamental de l’algèbre, prouvé par Carl Friedrich Gauss, montre que tout nombre complexe non nul a exactement k racines complexes distinctes. Cette preuve s’appuie sur des outils d’analyse et d’algèbre. Une autre preuve, basée sur le lemme de Littlewood, évite l’utilisation de la formule de Moivre. Ce lemme démontre l’existence d’au moins une racine k-ième pour chaque nombre complexe, en évitant la formule de Moivre et en s’appuyant sur la définition des racines sur R+ et un peu de topologie.
Conclusion
Les racines carrées et les racines k-ièmes de l’unité sont des concepts importants en mathématiques. Elles ont des applications dans de nombreux domaines, tels que la physique, l’ingénierie et les sciences informatiques. La compréhension de ces concepts permet de résoudre des problèmes mathématiques complexes et de développer de nouvelles théories mathématiques.
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