L’asile du Dr Brea et du professeur Pluma | Le jeu des sciences

Calculer le volume de notre pyramide trirectangulaire de la semaine dernière est très simple : rappelez-vous simplement que le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur, et que, bien que la base « officielle » soit le plus grand triangle (le formé par les trois hypoténuses), on peut prendre comme base n’importe laquelle des faces, par exemple le triangle rectangle avec les pattes a et b ; la troisième jambe, c, sera la hauteur, et donc le volume sera V = ab/2 xc/3 = abc/6. A partir de là, il est facile, quoique fastidieux, de calculer la hauteur h correspondant à la plus grande base : si l’on appelle S l’aire de ladite base, il faudra :

V = Sh/3 = abc/6, de donde h = abc/2S

On peut calculer S à partir des trois côtés du triangle formé par les trois hypoténuses : √(a2+b2), √(a2+c2), √(b2+c2), en appliquant la formule de Héron :

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] où s est le demi-périmètre du triangle : (a+b+c)/2

C’est la manière conceptuellement la plus simple de trouver h ; mais dans la section commentaires de la semaine dernière, vous en trouverez des plus subtils proposés par nos astucieux commentateurs réguliers.

Et comme abc est le volume d’un cuboïde d’arêtes a, b et c, on peut poser le puzzle géométrique suivant : avec six tétraèdres trirectangulaires de pattes 1, 2 et 3, composer un orthoèdre 1x2x3 (et/ou tout autre solide compact de volume égal à 6 unités cubes).

Un asile de fous

Et en parlant de nos commentateurs sagaces habituels, ils n’ont pas prêté attention aux énigmes de la dame et du tigre, les jugeant peut-être trop faciles, j’insisterai donc sur une autre du même type, un peu plus compliquée (ainsi que sinistre).

La méthode du Dr Brea et du Professeur Pluma Ce n’est pas l’une des histoires les plus connues d’Edgar Allan Poe, mais c’est l’une des plus troublantes. Et sur cette base, Raymond Smullyan a composé une énigme non moins inquiétante :

L’inspecteur Craig de Scotland Yard a visité un asile dirigé par le Dr Brea et le professeur Pluma, où résidaient également d’autres médecins, ainsi qu’un certain nombre de patients. Un résident était qualifié de « particulier » s’il pensait qu’il était un patient, et de « spécial » si tous les patients le croyaient particulier et qu’aucun médecin ne le pensait. Craig a découvert qu’au moins un résident était sain d’esprit et que la condition suivante était remplie : chaque résident avait un ami proche, et étant donné n’importe quelle paire de résidents, A et B, si A croyait que B était spécial, l’ami proche de A croyait que B était spécial. B était un patient. Suite à cette découverte, Craig a rencontré en privé le Dr Brea et le professeur Pluma. Voici ce qu’il a dit au premier :

-Dites-moi, Dr Brea, est-ce que tous les médecins de cet asile sont sains d’esprit ?

-Bien sûr!

-Et les patients, ils sont tous fous ?

-Au moins un l’est.

Craig a ensuite eu le dialogue suivant avec le professeur Pluma :

-Le Dr Brea dit qu’au moins un des patients est fou, c’est vrai ?

-Bien sûr que c’est vrai, tous les patients sont fous !

-Et les médecins, sont-ils tous sains d’esprit ?

-Au moins un l’est.

-Le Dr Brea est-il sain d’esprit ?

-Bien sûr! Comment oses-tu me demander une chose pareille ?

Sachant que toutes les croyances des gens sensés sont bonnes et que toutes celles des fous sont fausses, et que tous deux sont complètement sincères et disent toujours ce qu’ils croient, à quelle conclusion l’inspecteur Craig est-il arrivé ?

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