Dobble, le jeu de société qui cache des géométries avancées | Café et théorèmes | Science

Ces dernières années, le Dobble, également connu sous le nom Identifier le!— est devenu l’un des jeux de société les plus populaires auprès des enfants et des adultes. Des millions d’exemplaires ont été vendus dans ses différents thèmes – en plus du thème traditionnel, il propose des versions de Harry Potter, Frozen ou Star Wars. Malgré sa simplicité (en gros, celui qui est le plus rapide gagne), sa conception est basée sur un domaine mathématique connu sous le nom de géométrie projective.

Dobble dispose de 55 cartes, chacune avec huit symboles différents, disposées de telle sorte que, lorsque vous prenez deux cartes, elles ont toujours un seul symbole en commun. Au début de la partie, chaque joueur reçoit une carte et les autres sont placées en pile, face visible. La première personne à identifier le symbole qui partage sa carte avec celui de la pile centrale le conserve, montrant une nouvelle carte au centre. Le processus est répété jusqu’à épuisement des cartes, et celui qui a accumulé le plus de cartes gagne. Eh bien, ce simple passe-temps peut être compris comme une version finie de la géométrie dite projective.

La géométrie projective est une branche des mathématiques qui capture l’idée de perspective, c’est-à-dire la façon dont nous percevons les objets de notre point de vue en tant qu’observateurs. Par exemple, bien que les deux voies ferrées soient parallèles – elles restent toujours à la même distance l’une de l’autre – lorsque vous vous placez au-dessus d’elles et regardez dans la direction dans laquelle elles s’éloignent, vous créez la sensation qu’elles se rapprochent l’une de l’autre. l’autre traverse l’horizon.

En géométrie projective, cette idée est formalisée et il est établi, comme propriété fondamentale de l’espace, que toute paire de lignes se coupe en un seul point. Ce point sera à l’intérieur de l’espace, si les lignes s’y croisent ; ou ce sera un point à l’infini, s’ils sont parallèles, comme dans le cas des voies ferrées. Ainsi, le plan projectif est une manière d’élargir le plan habituel – également appelé cartésien – en ajoutant à chaque ligne un point de l’infini, où ladite ligne coupe toutes ses parallèles. L’union de tous les points de l’infini forme à son tour une ligne droite à l’infini – la ligne d’horizon, par analogie avec la voie ferrée – à laquelle est également associé un point supplémentaire à l’infini.

Dans sa version finie – celle reflétée dans le Dobble – ces géométries changent un peu. Les lignes, au lieu d’être constituées d’un nombre infini de points, comme on l’enseigne à l’école, n’en contiennent qu’un nombre fini, comme cela arrive sur un écran de télévision, où toute ligne – toute image en fait – a un nombre. de pixels. Le Dobble correspond à une géométrie projective finie spécifique, dans laquelle chaque ligne comporte exactement huit points : sept points dans l’espace plus un à l’infini. Dans le jeu, les points sont les symboles qui apparaissent sur les cartes et chaque carte est une ligne droite. Comme dans le plan projectif, deux lignes ont exactement un point commun, c’est-à-dire que deux cartes ont exactement un symbole en commun.

Ainsi, le plan projectif du Dobble peut être visualisé comme un plan de 7 x 7 points auquel s’ajoute une droite à l’infini, avec son point supplémentaire. Au total, ce plan projectif comporte 7^2 + 7 + 1 = 57 points. En appliquant un théorème de base de la géométrie projective, il s’ensuit que le nombre de points doit être égal au nombre de lignes ; Il y a donc également 57 lignes, ou dans notre cas, 57 cartes. Mais Dobble a 55 ans ! Pourquoi ses concepteurs ont choisi 55 cartes au lieu de 57 reste un mystère. Si vous avez de la curiosité, mais aussi de la patience et du temps, vous pouvez essayer de découvrir quelles sont les deux cartes manquantes.

Javier Aramayona Il est chercheur principal au Conseil supérieur de la recherche scientifique de l’Institut des sciences mathématiques (ICMAT).

Stefano Francaviglia Il est professeur à l’Université de Bologne, en Italie.

Agate Timon Elle est coordinatrice de l’Unité de Culture Mathématique ICMAT.

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