Cienciaes.com : La sagacité des abeilles et le télescope James Webb.

Aujourd’hui, nous allons commencer une nouvelle modalité de Kilo of Science que j’aime appeler : le Kilo de mon professeur. Je m’explique. Comme certains d’entre vous le savent, j’entretiens une relation amicale avec mon professeur de biochimie pendant mes études universitaires et pendant ma thèse, Miguel Pocoví Mieras. Oui, oui, chers élèves qui peuvent m’écouter, il est possible d’entretenir des amitiés avec d’anciens professeurs. Je sais que c’est difficile à imaginer aujourd’hui, mais je vous assure que c’est possible, et je m’en rends compte.

En plus d’être un excellent pédagogue, Miguel est aussi un excellent diffuseur. Il a écrit des dizaines d’articles très intéressants sur une variété de sujets scientifiques. Les articles m’ont tellement intéressé que je me suis dit qu’il est dommage que je ne les partage pas avec vous et ainsi vous fasse également partie des enseignements de mon professeur.

Le premier épisode de “Kilo de mi profe”, Miguel Pocoví :

La sagacité des abeilles: la conjecture mathématique du nid d’abeilles, Thomas Hales et l’observatoire spatial James Webb.

Miguel Pocovi (17-03-2021)

Les constructions faites par les abeilles ont toujours attiré l’attention des scientifiques, des écrivains et des artistes. Si nous voulons remplir un plan avec des formes géométriques identiques, c’est-à-dire mettre des tuiles, le faire avec des hexagones est le moyen le plus efficace et offre le plus petit périmètre.
Les abeilles choisissent cette forme hexagonale pour construire les alvéoles des rayons et utilisent ainsi le moins de cire possible. Les abeilles stockent leur miel dans des cellules pour former une surface sans lacunes, optimisant ainsi l’utilisation de l’espace.
La fabrication de la cire est un processus coûteux qui nécessite du temps et une forte consommation de calories. On estime que pour fabriquer 1 kg de cire, les abeilles, selon la température, doivent ingérer en moyenne entre 4 et 12 kg de miel.
Le nid d’abeilles est construit par les abeilles ouvrières et est utilisé pour déposer le miel et le pollen. En même temps, les cellules sont l’habitat de reproduction des travailleurs et des drones.
Vers l’an 36 avant JC, Marco Terentius Varro, dans son livre sur l’agriculture, a écrit sur la forme hexagonale du nid d’abeilles. Il y avait deux théories concurrentes pour expliquer cette structure hexagonale. Une théorie soutenait que les hexagones étaient mieux adaptés aux six pattes de l’abeille.
L’autre théorie, soutenue par les mathématiciens de l’époque de Varron, était que la structure s’expliquait par une propriété isopérimétrique du nid d’abeilles hexagonal et constituait ce que nous appelons la “conjecture du nid d’abeilles”.
Conjecture en nid d’abeille et sa preuve par Hales.
La conjecture en nid d’abeille était une conjecture jusqu’à ce qu’elle soit prouvée, comme nous le verrons plus tard, et devienne un théorème mathématique. La conjecture stipule: “Toute partition du plan en régions de surface égale a un périmètre au moins égal à celui de la mosaïque hexagonale en nid d’abeille.” C’est-à-dire que le nid d’abeilles est le meilleur moyen de diviser une surface en régions de surface égale et avec le périmètre total minimum.
Il n’y a que trois polygones réguliers qui recouvrent le plan : des carrés, des triangles équilatéraux et des hexagones réguliers. Si nous avons un carré, un triangle équilatéral et un hexagone régulier de même périmètre, l’hexagone est celui qui contient le plus d’aire. Par conséquent, si je veux économiser de la matière, les hexagones sont les meilleurs.
Dans un souci d’économie de matière, deux cellules hexagonales adjacentes sont déjà moins chères que deux cellules triangulaires ou carrées. En revanche, il est impossible de tesseller tout le plan avec des pentagones, des heptagones et des octogones réguliers.
En partie à cause de la propriété isopérimétrique du nid d’abeilles, il existe une vaste littérature à travers les siècles qui mentionne l’abeille comme géomètre.
au fil du siècle XVIIIème, l’architecture mathématique du nid d’abeilles était considérée comme la preuve d’une grande tendance téléologique de l’univers. Tout cela montre que nos ancêtres s’intéressaient souvent à des choses qui n’étaient pas anodines.
Le problème du nid d’abeilles n’avait jamais été résolu, sauf sous des hypothèses particulières, comme la convexité. En 1999, le mathématicien américain Thomas Callister Hales (1958) a soumis pour publication un article sur cette conjecture intitulé : « The Honeycomb Conjecture ». Après examen par des experts
l’article a été publié en 2001 dans la revue Discrete & Computational Geometry. L’article de Hales fournit une preuve sans l’hypothèse de convexité, de sorte que la conjecture devient un théorème.
Nous venons de voir que la structure hexagonale des cellules des abeilles dans un plan est idéale pour dépenser moins de cire et accumuler plus de miel. Cependant, si l’on regarde un nid d’abeilles de face, le treillis d’hexagones ne sont que les entrées dans un plan, alors que l’étude du fond des alvéoles est également très importante à la fois pour économiser de la matière et pour économiser de la cire, ainsi que pour s’inscrire dans deux plans.
Le plus logique était de supposer que les cellules étaient simplement des prismes hexagonaux à fond fermé. Mais si l’on observe les alvéoles, le fond du nid d’abeilles n’est pas plat, mais forme plutôt une pyramide avec trois losanges en forme de dièdre.
Ces cellules s’intègrent parfaitement dans un système à deux couches : lorsque trois cellules sont placées ensemble dans la même orientation, elles laissent un espace où une quatrième cellule placée dans l’orientation opposée s’intègre parfaitement.
Par conséquent, les cellules, suivant ce système à double couche, remplissent parfaitement l’espace entre deux plans parallèles sans laisser d’espaces et en formant une structure très rigide.
Applications pratiques.
Ensuite, nous allons voir que les mathématiques sont utilisées pour le développement et ne restent pas seulement dans les nombres, les conjectures et les théorèmes. Les êtres humains ont su les utiliser pour convertir leurs applications en recherche et en exploration.
A titre d’exemple, pour illustrer ce que nous venons de dire, nous allons voir une application de cette conjecture, et théorème, dans la construction d’un télescope, le James Webb Space Telescope (JWST), en l’honneur de celui qui fut administrateur du Nasa pendant le projet Apollo. Ce télescope devrait faire l’objet de nouvelles cette année. La Nasa Après de nombreux retards dus au coronavirus et quelques problèmes techniques, son lancement est prévu depuis la Guyane française le 31 octobre 2021.
La capacité d’un télescope est conditionnée par la taille du miroir dont il dispose, car l’objectif est de collecter la plus grande quantité possible de lumière du cosmos sur une surface, une surface totale sans les zones inactives. Il JWST il est inclus dans un observatoire spatial qui aidera à découvrir les mystères du cosmos. Ce télescope nécessite un miroir primaire, qui dans son cas est un réflecteur en béryllium d’un diamètre de 6,5 mètres et d’une superficie de mètres carrés 25. Il est si grand qu’il ne rentrerait dans aucune fusée existante.
Il JWST Il a été construit avec un ensemble de 18 pièces de miroirs hexagonaux qui peuvent être pliés pour s’adapter à la fusée, plus son
la forme en nid d’abeille permet à chaque miroir de s’adapter parfaitement sur ses bords (voir figure)
L’observatoire détectera la lumière de la première génération de galaxies qui se sont formées dans l’univers primitif après le Big Bang et étudiera les atmosphères des planètes voisines pour d’éventuels signes d’habitabilité.

Sources consultées.
1. Hales, T. La conjecture en nid d’abeille. Calcul discret Geom 25, 1–22 (2001). https://doi.org/10.1007/s004540010071
2. González Llorente J. Architectes prodigieux, héros, billard et problèmes de maximums et minimums. La Gazette du RSME, (2013), Vol. 16 Non. 2, pages 241–269. https://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=1143
3. Télescope spatial James Webb https://www.jwst.nasa.gov/
4. Räz, T. Sur l’application de la conjecture du nid d’abeilles au nid d’abeilles de l’abeille. Philosophia Mathematica 2013; 21(3) : 351–360.