Preuve possible de la conjecture géométrique de Langlands

La conjecture géométrique de Langlands (GLC) est décrit pour le grand public dans le livre « Love and Mathematics » d’Edward Frenkel (LCMF, 18 juillet 2015). Cette autobiographie scientifique de Frenkel présente l’état de la conjecture en 2009, alors qu’il s’agissait d’une proposition informelle de Beilinson et Drinfeld. Une formulation rigoureuse de la conjecture a été obtenue par Dima Arinkin et Dennis Gaitsgory (2015), qui publient désormais leur preuve en 2024, avec Sam Raskin, Nick Rozenblyum et plusieurs jeunes collègues. Un ouvrage monumental en cinq articles, deux publiés sur arXiv et trois encore à l’état de première ébauche. Le premier article définit ce qu’on appelle Foncteur géométrique de Langlands et dans le dernier on démontre qu’il s’agit d’une équivalence (les trois autres articles présentent des résultats intermédiaires). Un résultat très technique, avec comme co-auteurs les grands experts du domaine. L’examen par les pairs ne sera pas simple, mais il ne sera pas entrepris tant qu’il n’y aura pas une version finale des cinq articles. Malgré cela, certains médias ont repris ce résultat ; Dans des entretiens avec Frenkel, il estime que cette démonstration promet d’être le grand résultat mathématique de l’année.

D’après le livre de Frenkel, le programmer les Langlands est le théorie de la grande unification de Mathématiques. Dans ce vaste programme, le conjecture géométrique de Langlands C’est le sommet du prisme complet dans lequel le plus de progrès a été réalisé et celui qui a semblé le plus facile à réaliser. Malheureusement, le côté géométrique du programme de Langlands contient de nombreuses conjectures encore ouvertes et pour lesquelles la nouvelle preuve ne semble apporter aucun progrès. Arinkin, Gaitsgory et leurs collègues ont présenté leur propre version du GLC après une décennie de travail. Sa démonstration n’est donc pas entourée d’une grande surprise ; quand ses auteurs sont ceux qui l’ont formulé et dont tout le monde attendait pour le réaliser. Pour les physiciens, le plus important est que cette démonstration puisse servir d’inspiration pour une future démonstration du conjecture quantique de Langlands (qui est basé sur le travail de Frenkel avec Edward Witten en 2007). Cette dernière est née des résultats de la théorie des cordes, mais personne ne sait si elle aura un impact sur une future formulation de la théorie M ou de la théorie quantique des champs.

Évaluer dès maintenant si la preuve est correcte frise l’impossible. Cependant, de nombreux experts estiment qu’il en sera finalement ainsi (s’il y avait des erreurs, il semble qu’elles seraient faciles à résoudre). Cependant, son impact sur le programme Langlands sera, je crois, très limité ; Tout indique qu’il reste de nombreuses décennies pour réaliser la pierre de Rosette des mathématiques tant attendue dont rêvait André Weil et qui est née avec la lettre que Robert Langlands lui a envoyée en 1967. La nouvelle démonstration a été publiée dans cinq articles : Dennis Gaitsgory , Sam Raskin, « Preuve de la conjecture géométrique de Langlands I : construction du foncteur », arXiv : 2405.03599 [math.AG] (6 mai 2024), est ce que je: https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.03599; D. Arinkin, D. Beraldo,…, N. Rozenblyum, « Preuve de la conjecture géométrique de Langlands II : localisation de Kac-Moody et FLE », arXiv : 2405.03648 [math.AG] (6 mai 2024), est ce que je: https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.03648; Lin Chen, Dennis Gaitsgory, Sam Raskin, « Preuve de la conjecture géométrique de Langlands III : Equivalence sur la partie d’Eisenstein », première ébauche (04 octobre 2024) [PDF]; D. Arinkin, D. Beraldo, …, N. Rozenblyum, « Preuve de la conjecture géométrique de Langlands IV : Ambidextérité », première ébauche (20 février 2024) [PDF]; Dennis Gaitsgory, Sam Raskin, « Preuve de la conjecture géométrique de Langlands V : Le théorème de multiciplicité un », première ébauche (06 février 2024) [PDF]. Un niveau divulgativo recommande Alex Wilkins : « Une preuve mathématique incroyable est si complexe que presque personne ne peut l’expliquer. Les mathématiciens célèbrent une preuve de 1000 pages de la conjecture géométrique de Langlands.» Nouveau scientifique, 20 mai 2024 [PDF].

L’image qui ouvre cette pièce provient de la représentation de la pièce au Berkeley Theatre. Rites d’amour et mathématiques avec un scénario de Frenkel (tiré de son livre « Love and Mathematics »). Un ouvrage qui réfléchit sur l’aspect moral de la connaissance mathématique. La « formule d’amour » calligraphiée sur le corps de l’actrice n’a rien à voir avec la conjecture géométrique de Langlands. Il apparaît dans un article de 2006 de Frenkel, Losev et Nekrasov sur les instantons dans la théorie quantique des champs. Mais cette scène représente la passion qui existe dans la recherche mathématique et j’ai aimé qu’elle soit en tête de ce court article.