Mathématiques : nombres magiques | Le jeu des sciences

En raison d’un décalage momentané, le volet précédent s’intitulait pendant quelques minutes « La réalité des nombres magiques ». Et comme rien ne se perd en science, encore moins les erreurs (qui sont souvent les plus fécondes : c’est pourquoi l’expression « essais et erreurs » est devenue la devise de la recherche scientifique), ce lapsus est un bon prétexte pour parler des nombres magiques et rendez-leur la propriété qu’ils ont usurpée un instant.

Mais nous devons d’abord rechercher le trésor enfoui de la semaine dernière. Et voici comment l’a trouvé Alberto Adán, qui, contrairement au jeune aventurier de l’histoire, sait utiliser les nombres imaginaires :

« Si vous posez la carte comme un plan complexe et les positions du chêne, du pin et de la potence comme trois nombres complexes, vous pouvez calculer la position du trésor. Il est utile de supposer que la potence est à l’origine du tir. Marcher vers le chêne, c’est se placer dans le complexe R, et changer la même distance après avoir tourné à droite équivaut à ajouter le complexe Rx(-j) à R (j est l’unité imaginaire). Avec le pin, nous faisons la même chose : dans ce cas, tourner à gauche et parcourir la distance jusqu’au pin équivaut à ajouter Pxj. Le milieu de la ligne entre deux points est équivalent à la demi-somme des deux nombres complexes, donc le trésor est dans le résultat de (1/2)(R(1-j)+P(1+j)) = (1/2)x(R+P) + (1/2)x(RP)x(-j). Le premier addend est le point médian entre R et P, et le second est la moitié de la distance de P à R mais tourné vers la droite (car il est multiplié par -j). Pour accéder au trésor il faut aller du pin au chêne en ligne droite, s’arrêter à mi-chemin en comptant les pas (c’est le premier addend), tourner à droite et faire le nombre de pas comptés (2ème addend ). ».

Notez qu’il utilise j au lieu de i pour représenter l’unité imaginaire (√-1) ; En effet, Alberto est ingénieur en télécommunications et, en électronique, le i peut être interprété comme une intensité.

Mais, avec un peu de réflexion latérale, il est facile de trouver le trésor sans connaître les nombres complexes, comme le souligne Javier Ma :

« Même si le jeune homme ne connaissait rien aux mathématiques, s’il avait lu cet article, il aurait pu trouver le trésor. En effet, l’article suggère que le problème a une solution quel que soit l’endroit où se trouve la potence, il suffirait donc de commencer à marcher depuis n’importe quel point ; par exemple, en supposant que la potence soit au même point que le chêne, le trésor est vite trouvé.

D’un autre côté, Bretos Bursó a commenté que « de nombreux théorèmes de la géométrie euclidienne plate peuvent être rapidement prouvés à l’aide de nombres complexes. Par exemple, le théorème dit de Napoléon. Une observation qui tombe à point nommé et qui donnera lieu à un prochain volet.

La formule de Weizsäcker

Pour la physique des particules, les nombres 2, 8, 20, 28, 50, 82 et 126 (et peut-être quelques autres) sont « magiques », car les noyaux atomiques contenant ce nombre de nucléons (protons et neutrons) sont plus stables que prédit par la célèbre formule de Weizsäcker ou FSM (formule de masse semi-empirique), proposée en 1935 par le physicien et philosophe allemand Carl Friedrich Weizsäcker (1917-2007) ; une formule trop complexe pour être expliquée ici (même pour être reproduite), mais il est obligatoire de la mentionner, puisque les atomes avec un nombre magique de nucléons peuvent être considérés comme des singularités de ladite règle empirique.

En plus des sept mentionnés, il existe d’autres nombres de nucléons magiques candidats, tels que 6, 14, 16, 30, 32 et 34. Tous sont des nombres obtenus par observation et expérimentation dans des accélérateurs de particules ; mais un pythagoricien dirait qu’il doit y avoir une structure mathématique derrière cette séquence. Pouvez-vous en trouver ? Je recommande de s’en tenir à la première liste de sept chiffres (mais il va sans dire que vous n’êtes pas obligé de m’écouter).

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