Lorsque vous lancez une pièce en l’air, elle est plus susceptible d’atterrir du même côté que celui où elle a été lancée | Café et théorèmes | Science

Imaginez que vous prenez une pièce de monnaie et que vous êtes sur le point de la lancer en l’air. Selon vous, quelle est la probabilité qu’il atterrisse face ? Est-ce important de quel côté vous le lancez ? La plupart des gens diraient que la probabilité de tomber face est de 50 %, quelle que soit la position initiale de la pièce, mais ce n’est pas si simple.

Les deux questions précédentes correspondent à deux événements différents. Le premier concerne la probabilité que cela tombe sur face – ou sur face, ce serait la même chose. Cependant, la seconde fait référence à la probabilité qu’elle tombe face, si la pièce était face visible avant d’être lancée. Cette seconde probabilité, dite conditionnée, peut être différente de la première.

Sur cette question, en 2007, les mathématiciens Peris Diaconis, Susan Holmes et Richard Montgomery ont proposé un modèle physique qui montrait un léger biais en faveur de l’atterrissage de la pièce au moment de son lancement. En conclusion, ils ont indiqué que lorsqu’on lance une pièce en l’air, elle atterrit du même côté que celle où elle a été lancée dans 51 % des cas.

Cependant, si vous ne savez pas comment la pièce est placée, la probabilité qu’elle tombe face – ou face – est de 50 %. Mais comment peut-on affirmer que cette probabilité est telle, avec une totale certitude ? Il s’agit d’un problème d’estimation, c’est-à-dire que dès le départ nous ne connaissons pas la probabilité d’obtenir face et que nous voulons estimer correctement sa valeur sur la base des preuves.

L’approche la plus connue pour y parvenir part de l’interprétation de la probabilité comme fréquence, donnant naissance à ce que l’on appelle les statistiques fréquentistes. Plus précisément, selon cette approche, la probabilité que l’on souhaite estimer est interprétée comme la proportion de faces qui sera observée en lançant la pièce une infinité de fois dans les mêmes conditions. Ainsi, pour l’approcher, il suffira de lancer la pièce un grand nombre de fois, dans les mêmes conditions, et d’approcher la vraie probabilité par la proportion de face observée.

L’approche fréquentiste a été utilisée par de grandes personnalités de l’histoire des probabilités et de la statistique comme le comte de Buffon ou Karl Pearson. Le premier a lancé une pièce de monnaie 4040 fois, obtenant 2048 faces, ce qui représente une estimation de probabilité de 4040/2048 = 0,5069, soit 50,69 % ; Le second a réalisé 24 000 lancers, dont 12 012 atterris, montrant son visage 50,005 % du temps.

Cependant, le point de départ de cette approche crée un certain paradoxe : en tirant à pile ou face exactement dans les mêmes conditions, ne serait-on pas censé obtenir le même résultat ? La physique newtonienne affirmerait que oui et, en fait, ce sont les petites variations initiales qui induisent un caractère aléatoire dans les résultats, c’est pourquoi il est paradoxal de penser à cette prémisse de répétition. Ce point de départ est encore plus insaisissable lorsqu’on étudie la probabilité d’être atteint d’une maladie… dans ce cas, que faut-il répéter ? La vie de la personne ? De plus, combien de lancers faudra-t-il pour se rapprocher suffisamment de la vraie valeur ? Ainsi, bien que l’approche fréquentiste soit une approche valable et très étudiée, elle conduit parfois à certains raisonnements difficiles à interpréter et a même conduit à la remettre en question dans certaines revues scientifiques.

Pour pallier ces limites, il est possible d’utiliser une autre approche statistique : celle dite bayésienne. Selon ce paradigme, la probabilité est le degré d’incertitude que nous avons sur un processus et les observations effectuées contribuent à améliorer cette incertitude. C’est une représentation mathématique du processus d’apprentissage.

En reprenant l’exemple de la pièce, nous cherchons à estimer la valeur de la probabilité qu’elle tombe sur face. Pour ce faire, la première étape consiste à déterminer des valeurs a priori possibles pour cette probabilité. En l’absence de connaissances préalables, on peut établir que la probabilité peut être comprise entre 0 et 100 %. Ensuite, de nombreux tirages au sort sont effectués qui réduiront l’incertitude, limitant les valeurs possibles qui sont crédibles pour la probabilité de face.

C’est l’approche utilisée dans une étude récente réalisée par plus de 50 chercheurs néerlandais. L’étude s’éloigne de l’idée de répétition et de sa complication d’interprétation : ils ont effectué 350 757 lancers de différents types de pièces pour obtenir une plage de valeurs a posteriori pour la probabilité de face qui est comprise entre 49,9 % et 50,3. %. Ainsi, ce résultat renforce l’idée déjà connue et testée du 50-50 et permet donc de faire confiance à la pièce pour briser l’égalité.

Dans la même étude, ils ont également pu soutenir le modèle de Diaconis, Holmes et Montgomery : ils ont établi une fourchette de probabilité que la pièce tombe dans sa position d’origine comprise entre 50,3 % et 50,9 %, bien que ce ne soit pas 51 %. justement, cela témoigne de l’existence d’un certain biais.

Au-delà de cet exemple, les statistiques bayésiennes ont joué un rôle essentiel dans des événements historiques tels que le déchiffrement de la machine Enigma par Alan Turing. Il est actuellement utilisé partout où des processus complexes tels que la répartition des espèces, les modèles climatologiques ou les relations spatiales sous-jacentes à la santé ou à d’autres phénomènes sont étudiés. De plus, c’est l’une des techniques présentes dans ce que l’on appelle l’apprentissage automatique.

Anabel Forte Elle est professeur à l’Université de Valence

Rédaction et coordination : Agate A. Gouvernail G Longoria (ICMAT)

Café et théorèmes est une section dédiée aux mathématiques et à l’environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l’Institut des Sciences Mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de rencontre entre les mathématiques et d’autres aspects sociaux. et expressions culturelles et rappelons-nous ceux qui ont marqué leur développement et ont su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes. »

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