Le petit théorème | Le jeu des sciences

La semaine dernière, nous avons examiné certaines des caractéristiques du polyvalent numéro 8, qui est, entre autres, un nombre leyland. Voyons ce que notre commentateur habituel Bretos Bursó en dit :

“La séquence des nombres de Leyland apparaît dans l’OEIS, mais elle ajoute le chiffre 3 comme élément initial, sans donner d’explication. Répondre à la question de Carlo est facile : supprimez x=1 ou y=1 car sinon chaque nombre n serait un nombre de Leyland (n=1^(n-1)+(n-1)^1). Dans l’entrée OEIS, il y a un lien vers un fichier texte avec les 5 000 premiers nombres Leyland, et il a été porté à mon attention que le nombre 98 est 20000000000. Je pose la question évidente : sachant qu’un nombre Leyland est égal à x^y + y^x, avec x et y entiers supérieurs à 1, comment trouvez-vous ce que sont x et y ? Pour certains, c’est très facile, mais comment cela serait-il résolu, par exemple, pour celui à la place 100, qui est 31381070257 ?

L’OEIS est le Encyclopédie en ligne des suites de nombres entierset j’ai également été surpris que le 3 en début de liste, puisque dans tous les articles que j’avais lus jusqu’à présent sur les nombres de Leyland, 8 est considéré comme le premier d’entre eux. Pouvez-vous penser à une explication pour cette inclusion? Et, étant donné un nombre de Leyland, comment trouver les x et y qui le génèrent ?

Parmi les nombres de Leyland, ceux qui sont premiers présentent un intérêt particulier, notamment pour leur utilisation en cryptographie. Le plus petit nombre premier de Leyland est 17, le second 593 et ​​nous n’en trouvons pas un autre jusqu’à ce que nous atteignions 32993, d’où nous sautons à 2097593 : les nombres premiers de Leyland sont très espacés et leur séquence croît très rapidement. Le plus grand nombre premier de Leyland connu est celui correspondant aux valeurs 2929 et 8656 pour x et y, soit un nombre de 30008 chiffres.

Il existe également, parmi les nombres de Leyland, de grands nombres premiers probables, tels que 9 et 314738. Comme son nom l’indique, un nombre premier probable est un nombre qui est très probablement premier, même s’il n’a pas été prouvé qu’il l’était. Les nombres premiers probables passent le test de primalité de Fermat, basé sur son « petit théorème ».

Un théorème pas si petit

Le petit théorème de Fermat dit que si un est un entier positif et p un cousin qui n’est pas un facteur de unensuite p doit être un facteur de aᴾ⁻¹ – a. Par exemple, oui un = 8 ans p = 3, on voit que 8² – 1 = 63, et 63 est divisible par 3. Comment fonder un test de primalité capable de détecter des nombres premiers probables sur ce théorème ?

On l’appelle “petit théorème de Fermat” pour le distinguer de ce qu’on appelle le dernier théorème de Fermat et, aujourd’hui, du théorème de Fermat-Wiles, puisqu’il a été prouvé en 1995 par le mathématicien britannique Andrew Wiles. Ce théorème affirme qu’il n’est pas possible de trouver trois entiers positifs x, y, z tels qu’ils vérifient l’équation, xⁿ + yⁿ = zⁿ, pour n supérieur ou égal à 3. Ce qui semble être une extension innocente du théorème de Pythagore s’avère impossible ; une impossibilité si difficile à prouver que les mathématiciens ont mis plus de trois siècles pour y parvenir. Wiles lui-même a décrit son processus ainsi :

« Vous entrez dans la première pièce d’un manoir et il fait noir. Vous continuez à vous cogner contre les meubles, mais petit à petit vous apprenez où se trouve chaque meuble. Enfin, au bout de six mois environ, vous trouvez l’interrupteur et soudain tout s’allume. Vous pouvez voir exactement où vous êtes. Ensuite, vous allez dans la pièce voisine et passez encore six mois dans le noir. Ainsi toutes ces avancées, quoique parfois très rapides et accomplies en un jour ou deux, sont l’aboutissement de mois précédents de trébuchement dans l’obscurité, sans lesquels l’avancée aurait été impossible.”

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