Le mathématicien Michel Talagrand reçoit le prix Abel

BAvec Michel Talagrand, il y a parfois quelque chose à gagner. Lors d’une conférence en 2019, il a demandé à ses auditeurs d’imaginer un jeu de fléchettes. La cible a un diamètre d’un mètre et est marquée par une ligne circulaire d’un millimètre d’épaisseur. « Vous payez un dollar pour entrer dans le jeu, et si vous manquez le disque, vous pouvez le relancer jusqu’à ce que vous touchiez. Si vous atteignez la ligne du cercle mais pas la ligne, vous obtenez deux dollars et la partie est terminée. Mais si vous touchez la ligne, vous perdez votre pari.

Mais il faudrait être extrêmement malchanceux et la fléchette s’égarerait exactement sur le bord millimétrique. Le participant est presque certain de gagner – mais, comme l’explique immédiatement Talagrand, uniquement dans des mondes aux dimensions réduites. Si la cible des fléchettes n’était pas un disque circulaire bidimensionnel mais une structure avec le même rapport bord-contenu de 1:1000 mais dans, disons, 700 dimensions spatiales, alors une créature de grande dimension correspondante perdrait une partie sur deux. s’il est lancé au hasard.

Les processus aléatoires et la géométrie étrange des dimensions supérieures sont des domaines essentiels des recherches du mathématicien français de 72 ans, pour lesquelles il a reçu hier 20 mars le prix Abel 2024 de l’Académie norvégienne des sciences, la distinction la plus prestigieuse dans le domaine. des mathématiques. À l’exception peut-être de la médaille Fields, qui n’est pas décernée chaque année et uniquement aux mathématiciens ayant obtenu l’exploit primé avant leur 40e anniversaire. À cet égard, le prix, créé en 2002 à l’occasion du 200e anniversaire du mathématicien norvégien Niels Hendrik Abel, l’un des fondateurs de la théorie des groupes, est plus comparable au prix Nobel.

Nombres roulés et espaces multidimensionnels

Cet honneur semblait très improbable au théoricien des probabilités Talagrand. “Si un vaisseau-mère extraterrestre avait atterri devant l’hôtel de ville, je n’aurais plus été surpris”, a-t-il déclaré dans une interview publiée avec la décision de l’académie. D’autres observateurs ont peut-être été moins surpris par la décision norvégienne, puisque Talagrand, qui était directeur de recherche au Centre national de la recherche scientifique à Paris jusqu’à sa retraite il y a deux ans, avait déjà reçu le prix Shaw en 2019. Dans le passé, ses lauréats ont souvent reçu des prix Nobel dans des disciplines pertinentes.

Talagrand a été honoré « pour ses contributions révolutionnaires à la théorie des probabilités et à l’analyse fonctionnelle avec des applications exceptionnelles en physique mathématique et en statistiques », comme l’explique l’Académie norvégienne. En fait, les inégalités de Talagrand revêtent une importance capitale dans les mathématiques des processus aléatoires. Ils permettent des estimations très générales des limites des quantités résultant de processus aléatoires. Un exemple spécial et très simple serait la somme d’un certain nombre de dés lancés plusieurs fois de suite.

Et voici le lien avec la géométrie mentionnée dans les espaces de grande dimension : le nombre de pépins sur un dé lancé représente une variable dite aléatoire qui peut avoir une certaine valeur numérique : dans le schéma humain à six faces habituel, mourir pour s’énerver, par exemple, c’est l’un des nombres entiers de un à six. Si vous lancez maintenant plusieurs dés, vous pouvez interpréter ces valeurs prises ensemble comme les coordonnées d’un point dans l’espace – un espace avec autant de dimensions que de dés lancés.

Mathématiques abstraites ayant une pertinence physique

Les processus aléatoires intéressants sont généralement de très haute dimension et peuvent donc être étudiés s’ils sont considérés comme des structures géométriques de grande dimension. Michel Telegrand a apporté ici des résultats et des méthodes très généraux, qui ont notamment permis de mieux comprendre ce que l’on appelle la « concentration de la mesure ». C’est le phénomène qui se produit lorsque de nombreuses fluctuations statistiques interagissent, qui s’annulent dans une certaine mesure et créent des distributions de forme stable comme la fameuse courbe en cloche gaussienne.

Les problèmes mathématiques traités par Talagrand sont intéressants, notamment pour la physique statistique. Aujourd’hui, elle constitue non seulement la base de la thermodynamique classique, mais aussi de nombreux autres domaines dans lesquels de nombreux composants interagissent statistiquement, par exemple dans la physique de la matière condensée. Un cas exotique mais intéressant est celui des lunettes dites de spin, pour lesquelles l’Italien Giorgio Parisi, prix Nobel de physique en 2021, a créé une formule célèbre. Talagrand a réussi un travail à partir de 2006 pour prouver la validité de la formule de Parisi avec toute la rigueur mathématique.

Même si Michel Talagrand est aujourd’hui lauréat d’un prix, il en offre lui-même, des prix en espèces pour la résolution de problèmes mathématiques qui le préoccupaient mais qu’il n’arrivait pas à résoudre lui-même. Il a copié cela du célèbre mathématicien Paul Erdös (1913 à 1996). « Par exemple, il a proposé 15 dollars pour un problème incroyablement difficile », raconte Talagrand. “Eh bien, je suis assez fier d’avoir résolu, en tant que jeune homme, certains des problèmes posés par Paul Erdös – même s’ils n’ont reçu aucune récompense monétaire.” Lui-même est bien plus généreux : « Up Mon site internet “J’ai cinq ou six problèmes pour lesquels je propose mille dollars chacun pour les résoudre.”