La tour et le triangle | Le jeu des sciences

Au cours des semaines précédentes, nous avons vu la relation surprenante de la Tour de Hanoï avec les visites hamiltoniennes, ainsi qu’avec la légende de l’inventeur des échecs, et la tour polyvalente réserve encore quelques surprises. Par exemple, sa relation avec le triangle de Sierpinski, soulignée par notre commentateur régulier Luca Tanganelli.

Bien que le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski (1882-1969) soit surtout connu pour son célèbre « tapis », il a également conçu d’autres objets fractals, comme le triangle qui porte son nom, obtenu de la manière suivante :

Dans un triangle équilatéral (même si n’importe quel triangle fera l’affaire), on joint les milieux des côtés et on élimine le triangle central ainsi obtenu (vierge sur la figure), laissant 3 triangles dont l’aire de jointure est 3/4 de celle du triangle initial. On fait de même avec les trois triangles restants, laissant 9 triangles dont l’aire de jointure est 9/16 de celle du triangle initial… et ainsi de suite indéfiniment.

Eh bien, comme le souligne Tanganelli : « Le graphique des mouvements de la Tour de Hanoï est comme un triangle de Sierpinski, et le chemin le plus court entre deux positions extrêmes (où les disques sont tous sur un seul axe) est affiché comme un côté dudit triangle. . Je me suis demandé s’il existait un chemin plus long entre deux positions extrêmes, et il s’avère que oui. Cette voie s’avère être une voie hamiltonienne.

(Je précise que le graphe de la tour triviale à un seul disque est le triangle initial, celui de la tour à deux disques est la première étape du processus de Sierpinski, c’est-à-dire le triangle divisé en quatre parties, et ainsi de suite. ).

Comme nous l’avons vu, le chemin le plus court, pour une tour de n disques, nécessite 2 à 1 déplacements. Combien de mouvements le chemin hamiltonien nécessite-t-il ? Les deux chemins sont-ils uniques ?

Le vrai nom de Dieu

Et parlant de curieux parallèles, la légende (apocryphe) des moines de Bénarès qui déplacent sans cesse les 64 disques d’or d’une tour de Hanoï, dont l’énorme tâche, une fois accomplie, signifiera la fin du monde, a son pendant dans un célèbre histoire d’Arthur Clarke intitulée Les neuf milliards de noms de Dieu, qui raconte l’histoire de certains moines tibétains qui combinent constamment les lettres de leur alphabet pour tenter de former le vrai nom de Dieu ; Lorsqu’ils le trouveront, il ne restera plus rien à faire et les étoiles s’éteindront. Tenant compte du fait que l’alphabet tibétain est composé de trente lettres, que le nom de Dieu ne peut pas avoir plus de neuf lettres et qu’une même lettre ne peut apparaître plus de trois fois de suite (car cela donnerait un nom imprononçable même pour un Tibétain). moine), le nombre de noms divins possibles est-il réellement de l’ordre du milliard ? Ou ceux qui traduisent par erreur des milliards par des milliards sont-ils plus proches de la vérité dans ce cas-ci ?

Fixons-nous une tâche un peu plus simple que celle des moines tibétains : supposons que celui qui appelle l’être suprême « Dieu » obtienne le bon nombre de lettres et la proportion de voyelles et de consonnes, mais ne trouve pas le vrai nom. Combien sont les noms possibles avec quatre lettres, deux voyelles et deux consonnes, compatibles avec la morphologie de l’espagnol ? Mais ne les récitez pas à voix haute, au cas où…

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