Inconnus illustres | Le jeu des sciences

Au cours des deux semaines précédentes, nous avons dressé une liste de numéros très intéressants (ce n’est pas un pluriel majestueux : plusieurs lecteurs ont participé activement à sa préparation), qui, du plus petit au plus grand, sont les suivants :

0, 1, je, √2, Φ, 2, e, π, 5, 8, 9, 10, 113, 6174

(L’emplacement de i dans la liste est arbitraire, puisqu’il s’agit d’un nombre imaginaire.)

Notez que tous les chiffres sont là sauf 3, 4 et 6, ce serait donc une offense comparative de ne pas les inclure :

3

Il est le cousin germain impair et le cousin germain de Fermat, et est également le cousin germain de Mersenne ; C’est un nombre de Lucas et de Fibonacci… Pouvez-vous penser à d’autres caractéristiques du chiffre 3 ?

4

C’est le premier nombre composé et le carré du premier nombre premier. C’est un numéro défectueux et sublime, ainsi qu’un numéro pastel et Padovan.

6

C’est le premier nombre parfait (car il est égal à la somme de ses diviseurs : 6 = 1 + 2 + 3), et c’est le produit des deux premiers nombres premiers. C’est un numéro pratique et oblong…

Nos commentateurs réguliers Bretos Bursó et Salva Fuster considèrent à juste titre que la démonstration de l’irrationalité de la racine carrée de 2 (dont nous avons vu la semaine dernière la version la plus courante) peut être exprimée plus brièvement, à condition de la tenir pour acquis. tout nombre est factorisé comme un produit de nombres premiers de manière unique : il ne peut pas être a² = 2 b², car 2 apparaît un nombre pair de fois dans la factorisation de a² (deux fois plus qu’il apparaît dans celle de a) et a nombre impair de fois dans 2 b² (deux fois plus qu’il apparaît dans b, plus 1). En général, pour la même raison, il s’avère que la racine carrée de tout nombre premier est irrationnelle. De plus, la racine carrée d’un nombre naturel n’est rationnelle que si c’est un carré parfait.

Et en plus, Bursó et Fuster proposent d’autres nombres intéressants : 0,5 = 1/2, puisque sûrement le concept de moitié a été le point de départ des nombres rationnels ; la racine cubique de 2 (1,2599…), en raison de son importance dans le développement de l’algèbre ; et la constante d’Euler (ou Euler-Mascheroni), qui est représentée par la lettre grecque gamma et dont la valeur est 0,5772…

Gamma, oméga, aleph…

La constante d’Euler est la limite de 1 + 1/2 + 1/3… + 1/n – log n lorsque n tend vers l’infini. C’est un nombre beaucoup moins connu que π, mais encore plus mystérieux : de même qu’on connaît des millions de décimales pour π, seulement quelques milliers ont pu être calculés pour la constante d’Euler, et on ne sait même pas si elle est rationnelle. ou irrationnel.

Et lorsqu’on parle de gamma, constante d’Euler, il est inévitable de penser à d’autres nombres très importants mais très peu connus du grand public, et même difficiles à comprendre pour les non-spécialistes. Voyons, pour l’instant, quelques-uns qui figurent sur les listes de favoris de la plupart des mathématiciens :

Constante de Chaitin

Il est représenté par la lettre grecque oméga et est un nombre irrationnel qui représente la probabilité qu’un ensemble d’instructions arrête une machine de Turing universelle. Il porte le nom du mathématicien américain devenu citoyen argentin Gregory J. Chaitin, qui l’a formulé dans les années soixante du siècle dernier.

Alef 0

Le premier des nombres transfinis de Cantor, qui correspond à l’infinité des nombres naturels, qui est une infinité d’ordre inférieur à celle des nombres irrationnels, qui ne sont pas dénombrables (c’est-à-dire qu’ils ne peuvent pas être mis en correspondance biunivoque avec le nombres naturels), comme l’a démontré Georg Cantor en 1873. Mais c’est un autre article.

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