Équations diophantiennes | Le jeu des sciences

Le premier problème de la semaine dernière est facile à résoudre mentalement, il suffit de se rendre compte que le premier berger a 2 moutons de plus que le second, et à partir de là, un court essai et erreur mène à la solution : 7 et 5. Mais sa même évidence le rend approprié. en introduction aux équations du premier degré, car si on appelle x le nombre de moutons du premier berger et y le nombre de moutons du second, on obtient le système simple :

x + 1 = 2(y – 1)

x-1 = y + 1

De même, le deuxième problème peut servir d’introduction aux équations diophantiennes, c’est-à-dire celles qui doivent avoir des solutions entières. Si on appelle x le nombre de moutons à quatre pattes et y le nombre de moutons boiteux, on a que 4x + 3y = 59, et on sait aussi qu’il y a plusieurs moutons boiteux et que leur nombre est inférieur au nombre de moutons entiers moutons, ce qui limite les solutions possibles à une seule Combien y a-t-il de moutons en tout ?

Et le troisième problème nous fait passer des équations du premier degré à celles du second : puisque le prix en euros d’un mouton est égal à leur nombre, que nous appellerons x, le troupeau a été vendu pour x² euros. Comme l’aîné facture un billet de 10 euros plus cher que le cadet, le nombre de billets reçus est impair, c’est-à-dire sous la forme 2n + 1 (n étant un entier naturel), et comme ils ont aussi reçu un pic de pièces de 1 euro, on a que x² = 10(2n + 1) + m, où m est un entier naturel inférieur à 10 ; donc x² a un nombre impair de dizaines. Si on décompose x en dizaines et en unités, on peut le mettre sous la forme x = 10y + z, avec z<10, où x² = 100y² + z²+ 20yz = 20(5y² + yz) + z² . Et puisque x² a un nombre impair de dizaines, il doit en être de même avec z² ; mais z est un nombre à un chiffre, et les seuls dont les carrés ont des dizaines impaires sont 4 et 6 : 4² = 16, 6² = 36. Dans les deux cas les carrés se terminent par 6, donc le pic que le jeune frère a pris est de 6 euros, et comme l'aîné a pris le dernier billet de 10, il doit donner 2 euros à son frère pour que les deux parts soient égales.

Le testament du cheikh

Notre commentateur régulier Juan José Rodríguez a opportunément évoqué un classique des énigmes diophantiennes :

Un cheikh lègue à ses trois fils 17 chameaux, qui, selon sa volonté, doivent être répartis comme suit : le fils aîné prendra 1/2 du troupeau, celui du milieu 1/3 et le plus jeune 1/9. Puisque 17 n’est pas divisible, les trois frères sont perplexes ne sachant pas quoi faire. A ce moment, un mollah arrive monté sur son chameau et, en apprenant leur problème, leur dit :

— Ne t’inquiète pas, je te donne mon chameau pour que tu fasses la distribution, puisque 18 est divisible par 2, par 3 et par 9.

“Nous ne pouvons pas l’accepter, mollah sage et généreux”, répondent les frères, mais il insiste :

“Allah est plus sage et récompensera ma générosité.”

Ainsi, le plus âgé prend la moitié des 18 chameaux, soit 9, celui du milieu un tiers, soit 6, et le plus jeune un neuvième, soit 2. Et il reste le chameau du mollah, sur lequel il remonte en et continue son chemin. Quelle est l’explication de cette curieuse anecdote ? Autre : la volonté du cheikh est-elle strictement respectée ou la solution des mollahs s’en écarte-t-elle de quelque manière que ce soit ?

Et comme on parle depuis longtemps d’équations, la métaquestion habituelle : qu’est-ce qu’une équation ? Comment le définiriez-vous en un mot ? Comment le rendriez-vous visible avec une comparaison physique ?

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