Ellipse de Steiner | Le jeu des sciences

Comme nous l’avons vu la semaine dernière, le « problème de l’écolière » admet 7 solutions non isomorphes (c’est-à-dire de structure différente), répertoriées en 1922 par le mathématicien américain Frank Nelson Cole (1861-1926), devenu célèbre au début des années 1920. 20ème siècle pour trouver les facteurs du 67ème nombre de Mersenne (2⁶⁷– 1). Édouard Lucas avait montré que M₆₇ n’était pas premier, mais il n’avait pas réussi à le décomposer en facteurs. Et Cole a accompli l’exploit de trouver ces facteurs alors que le papier et le crayon étaient les seules calculatrices disponibles (se consacrant au problème, comme il l’a avoué, tous les dimanches pendant trois ans) :

M⁶⁷ = 147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721 × 761.838.257.287

Et Cole a également calculé (un peu par rapport au calcul précédent) le nombre total de solutions – y compris isomorphes – au problème de l’écolière :

quinze! x 13/42 = 404 756 352 000 (comment obtient-on ce nombre ?).

Circunelipse et inellipse

Además de sus importantes contribuciones a la teoría de diseños combinatorios, como vimos la semana pasada, el matemático suizo Jakob Steiner (de cuyos “árboles mínimos” -los bonsái de los grafos- nos ocupamos hace cinco años) fue uno de los más grandes geómetras de tous les temps; le plus grand après Apollonius de Perge, selon certains. Il détestait la géométrie analytique, qui contaminait selon lui la géométrie « pure », et ses travaux reposaient exclusivement sur les méthodes de la géométrie synthétique et projective, au développement desquelles il contribua de manière significative.

La référence à Apollonius lorsqu’on parle de Steiner est particulièrement pertinente puisque, comme le Grand Géomètre, il a apporté d’importantes contributions à l’étude des coniques. Dans ce domaine, Steiner est surtout connu pour ses ellipses circonscrites et inscrites dans un triangle.

La circumellipse de Steiner est la seule ellipse qui passe par les trois sommets d’un triangle et dont le centre est le centroïde ou le centroïde de celui-ci (rappelez-vous que le centroïde d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes, qui coïncide avec son centre de gravité si on le considère comme un objet physique).

Quelqu’un pourrait penser qu’un cercle est aussi une ellipse et que, par conséquent, le cercle circonscrit à un triangle serait aussi un circumellipse de Steiner. Mais ce n’est pas le cas, puisque le centre du cercle circonscrit (circoncentre) est le point d’intersection des bissectrices du triangle, et non ses médianes (la raison est évidente : tous les points de la bissectrice de chaque côté sont équidistants de les deux sommets) correspondant à ce côté, donc le point d’intersection des bissectrices est équidistant des trois sommets).

Entre autres propriétés, la circumellipse de Steiner est, de toutes les ellipses circonscrites par un triangle, celle qui a la plus petite aire (peut-on la calculer en fonction de l’aire du triangle ?).

Quand on parle de l’ellipse de Steiner sans rien préciser d’autre, on fait référence à sa circumellipse, qu’il ne faut pas confondre avec l’inellipse. L’inellipse de Steiner est l’ellipse inscrite dans un triangle tangent aux milieux de ses côtés (et il est justifié de dire « le » car il est unique). La surface de l’ellipse de Steiner est le quart de celle de la circumellipse de Steiner (pouvez-vous le prouver ?).

Je suggère à mes lecteurs avisés de commencer par analyser le cas particulier et beaucoup plus simple de la circumellipse et de l’ellipse d’un triangle équilatéral.

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