Des mathématiciens ont trouvé le neuvième nombre de Dedekind, après 32 ans de recherche : ScienceAlert

Sans se laisser décourager après trois décennies de recherche et avec l’aide d’un superordinateur, les mathématiciens ont finalement découvert un nouvel exemple d’un entier spécial appelé a Numéro Dedekind.

Seulement le neuvième du genre, ou D(9), il est calculé pour être égal à 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366, si vous mettez à jour vos propres enregistrements. Ce monstre à 42 chiffres fait suite au D(8) à 23 chiffres découvert en 1991.

Comprendre le concept d’un nombre de Dedekind est difficile pour les non-mathématiciens, et encore moins le comprendre. En fait, les calculs impliqués sont si complexes et impliquent des nombres si énormes qu’il n’était pas certain que D(9) serait un jour découvert.

“Pendant 32 ans, le calcul de D(9) a été un défi ouvert, et on pouvait se demander s’il serait un jour possible de calculer ce nombre”, dit L’informaticien Lennart Van Hirtum, de l’Université de Paderborn en Allemagne, en juin, lorsque le chiffre a été annoncé.

Au centre d’un nombre Dedekind se trouvent Fonctions booléennesou une sorte de logique qui sélectionne une sortie parmi des entrées composées de seulement deux états, comme un vrai et un faux, ou un 0 et un 1.

Les fonctions booléennes monotones sont celles qui restreignent la logique de telle manière que l’échange d’un 0 contre un 1 dans une entrée fait uniquement passer la sortie de 0 à 1, et non de 1 à 0.

Les chercheurs décris le en utilisant des couleurs rouges et blanches plutôt que des 1 et des 0, mais l’idée est la même.

“Fondamentalement, vous pouvez considérer une fonction booléenne monotone en deux, trois dimensions et infinies comme un jeu avec un cube à n dimensions”, dit Van Hirtum.

“Vous équilibrez le cube sur un coin, puis coloriez chacun des coins restants en blanc ou en rouge.”

“Il n’y a qu’une seule règle : il ne faut jamais placer un coin blanc au-dessus d’un coin rouge. Cela crée une sorte d’intersection verticale rouge-blanc. Le but du jeu est de compter le nombre de coupes différentes.”

Les premiers sont assez simples. Les mathématiciens comptent D(1) comme 2, puis 3, 6, 20, 168…

En 1991, il a fallu un certain temps Supercalculateur Cray-2 (l’un des supercalculateurs les plus puissants de l’époque) et le mathématicien Doug Wiedemann 200 heures pour comprendre D(8).

D(9) a fini par être presque deux fois plus long que D(8) et nécessitait un type spécial de superordinateur : un superordinateur qui utilise des unités spécialisées appelées Field Programmable Gate Arrays (FPGA) qui peuvent effectuer plusieurs calculs en parallèle. Cela a conduit l’équipe au supercalculateur Noctua 2 de l’Université de Paderborn.

“La résolution de problèmes combinatoires difficiles avec les FPGA est un domaine d’application prometteur et Noctua 2 est l’un des rares supercalculateurs au monde avec lequel l’expérience est réalisable.” dit l’informaticien Christian Plessl, directeur du Paderborn Center for Parallel Computing (PC2) où est conservé Noctua 2.

Des optimisations supplémentaires étaient nécessaires pour donner à Noctua 2 quelque chose avec quoi fonctionner. En utilisant les symétries dans la formule pour rendre le processus plus efficace, les chercheurs ont donné au supercalculateur une énorme somme à calculer, une somme qui impliquait 5,5*10^18 termes (le nombre de grains de sable sur Terre est estimé à 7,5*10^ 18, à titre de comparaison).

Après cinq mois, Noctua 2 a apporté une réponse et nous avons désormais D(9). Les chercheurs n’ont pour l’instant fait aucune référence au D(10), mais on peut imaginer qu’il faudra encore 32 ans pour le trouver.

Le document a été présenté en septembre à la Atelier international sur les fonctions booléennes et leurs applications (BFA) en Norvège.

Une version antérieure de cet article a été publiée pour la première fois en juin 2023.