Cienciaes.com : Théorème de Fermat : Les Simpson et Andrew Wiles.

Un texte de Miguel Pocoví, adapté pour le podcast de Jorge Laborda « Quilo de Ciencia »

L’un des théorèmes mathématiques les plus populaires est celui de Pythagore, qui nous dit que dans un triangle rectangle la somme des carrés des jambes est égale au carré de l’hypoténuse.

Nous aurons que a² + b² = c², ce que nous appelons une équation de Pythagore. Par exemple, si la jambe “a” mesure 4 mètres et la jambe “b” mesure 3 mètres, l’hypoténuse “c” mesurera 5 mètres 3² + 4² = 5² . Si, comme dans ce cas, “a”, “b” et “c” sont des nombres entiers, on parle de triplet de Pythagore, et l’égalité est la solution d’une équation diophantienne quadratique.

Par conséquent, on s’attendrait à ce que d’autres égalités similaires avec des exposants entiers supérieurs à 2 soient également possibles, c’est-à-dire trouver a³ + b³ = c³, ou a⁴ +b⁴ =c⁴ ou en généralⁿ +bⁿ =cⁿ

Cependant, cette égalité n’est possible que si n = 2 et cela a été postulé en 1637 par Pierre de Fermat, qui a formulé son théorème comme suit :

Si “n” est un entier supérieur à 2, alors il n’y a pas d’entiers non nuls “a”, “b” et “c” tels que l’égalité soit vraie :

unⁿ +bⁿ =cⁿ

Autrement dit, cette égalité n’est possible que si n=2.

Ce théorème, s’il est vrai, devrait avoir une preuve, sinon ce n’est qu’une conjecture. On estime que plus de 1 000 preuves différentes du théorème de Pythagore ont été réalisées et qu’il existe 367 façons différentes de le prouver. L’une de ces démonstrations a même été réalisée par un président des États-Unis, James A. Gardfield- (à une autre occasion, nous pouvons voir comment Gardfield a réussi à démontrer le théorème de Pythagore). Cependant, prouver le théorème de Fermat n’a pas été une tâche facile, il a fallu plus de 350 ans pour obtenir une preuve.

Pour prouver que le théorème de Fermat est vrai, nous avons deux options : la première est de vérifier les combinaisons de nombres jusqu’à en trouver une qui la contredit, ce qui nous montrerait que la proposition de Fermat est fausse, et la seconde est d’utiliser la logique mathématique pour analyser si la déclaration est fausse ou correcte.

Le premier serait le plus facile si nous trouvions un exemple qui satisfait l’égalité. L’anecdote suivante serait un de ces exemples, si elle n’était pas fausse. Le personnage d’Homère, des Simpson, dans l’un des épisodes de cette série télévisée apparaît devant un tableau noir sur lequel figure la formule :
1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

La chose curieuse est que si avec ces nombres vous faites le test, avec une simple calculatrice, d’élever les nombres à la puissance 12, apparemment l’égalité est remplie, mais si nous faisons le calcul avec un ordinateur avec une “calculatrice scientifique” mode dans lequel nous pouvons voir tous les chiffres que nous avons:

1782¹² est un très grand nombre à 40 chiffres

1782¹² = 1025397835622633634807550462948226174976 (j’ai fait cette opération avec l’ordinateur sur la calculatrice scientifique)

Il en va de même pour 1841¹² qui est également un nombre à 40 chiffres.

1841¹² = 1515812422991955541481119495194202351681 (cette opération a été effectuée avec l’ordinateur en mode calculatrice scientifique)

Si nous additionnons maintenant ces nombres à deux nombres aussi grands, nous obtenons un autre nombre à 40 chiffres.

1782¹² + 1841¹² = 2541210258614589176288669958142428526657 (un autre à quarante chiffres, avec calculatrice scientifique)

Chiffre dont les 9 premiers chiffres correspondent

1922¹² = 2541210259314801410819278649643651567616 (chiffre à quarante chiffres avec calculatrice scientifique)

Étant donné que les nombres sont si grands, dans la plupart des écrans de calculatrice, seuls les premiers chiffres apparaissent et si nous arrondissons les 10 premiers chiffres, cela crée de la confusion. C’est un problème avec les calculatrices : quand on travaille avec un très grand nombre de chiffres, on sort de la plage maximale de travail de la calculatrice et cela produit une erreur que la machine résout en arrondissant. Mais comme vous pouvez le voir, les deux chiffres complets diffèrent totalement, ils ne coïncident qu’au début. Cette “occurrence” d’Homère était l’idée de l’un des auteurs des Simpson, David X. Cohen. Cohen a noté dans un programme qu’il recherchait des combinaisons de “a”, “b”, “c” et n qui semblaient satisfaire le dernier théorème de Fermat sur une calculatrice. Trois ans plus tard, 1998, Cohen revient pour nous donner une autre égalité dans Les Simpson :

3987¹² + 4365¹² = 4472¹²

Si, encore une fois, on fait les calculs comme dans le cas précédent, l’égalité n’est pas non plus respectée, mais lorsque le calculateur arrondit les 10 premiers chiffres, cela semble correct.

En tout cas, bien que connaissant l’erreur qui se produit, l’ingéniosité de Cohen doit être reconnue, puisqu’il est extrêmement difficile de trouver ces deux exemples, il a dû être d’une certaine utilité à Cohen d’avoir un diplôme en physique de l’Université de Harvard et une maîtrise en Sciences de l’informatique de l’Université de Berkeley.

Gardez à l’esprit que si le théorème devait s’avérer vrai, vous pourriez passer toute votre vie à essayer des nombres dans l’équation et ne jamais trouver d’exemple qui le contredise. Si vous n’avez toujours pas trouvé de contre-exemple à votre mort, vous ne prouvez rien non plus, puisqu’il vous resterait toujours une infinité de nombres à prouver. Par conséquent, la chose la plus logique, et qui vaut la redondance, est que les mathématiciens utilisent la logique comme une option préférentielle.

Nous allons relater les faits de l’approche et de la découverte de ce théorème.

L’approche a été faite par Pierre de Fermat, un juriste français, l’un des grands mathématiciens du siècle XVII et connu comme le père de la théorie des nombres, en 1637, il a conjecturé le théorème qui porte son nom dans une marge du livre, Arithmetica, sur les équations de Diophante, où il a noté les réflexions qui ont surgi. L’annotation était la suivante : Vous pouvez dire que c’est un paragraphe en latin et ne pas le lire

Par la dernière phrase de cette annotation que Fermat écrivit en marge du livre : « Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet », dont la traduction est « J’ai une démonstration vraiment merveilleuse de ce fait, mais cette marge est trop étroite pour la contenir » qu’il soutenait l’avoir démontrée.

Fermat a probablement prouvé le cas pour n=4 par la méthode de descente infinie ; mais il est aussi probable qu’il ait eu tort de croire qu’il avait la preuve pour le cas général, c’est-à-dire pour tout nombre n>2, donc il est douteux qu’il l’ait prouvée pour le cas général.

Par conséquent, cette conjecture devait être prouvée et cela n’a pas été une tâche facile, car il a fallu plus de 350 ans pour y parvenir. On estime que plus d’efforts ont été déployés pour prouver cette conjecture que Nasa pour aller sur la lune. Il y a eu beaucoup d’histoires et d’anecdotes autour de cette affirmation : fausses preuves, affirmations selon lesquelles il est impossible de la prouver, querelles entre mathématiciens pour savoir qui pourrait proposer une preuve définitive en premier, développement d’autres théories mathématiques et, surtout, énorme percée des mathématiques en essayant de le prouver.

La démonstration a été réalisée par Andrew Wiles (Cambridge, Angleterre, 1953), un mathématicien réputé qui travaille au Princeton Institute for Advanced Study (Etats-Unis), réussit en 1995, en utilisant la logique, à prouver le théorème de Fermat dans un article de 108 pages publié dans les Annals of Mathematics. Wiles était fasciné par le théorème à l’âge de 10 ans car, bien qu’il soit si simple qu’il pouvait le comprendre, il était si complexe que personne ne l’avait résolu au cours de ses trois siècles d’histoire.

Auparavant, en 1993, Andrew Wiles avait présenté une preuve du théorème de Fermat, après une série de conférences à l’Isaac Newton Institute de Cambridge. À la fin de son dernier cours, il a annoncé qu’il avait une preuve du théorème de Fermat. Cependant, lorsque les résultats ont été écrits pour publication, une erreur subtile a été découverte. Cette tentative ratée lui a causé beaucoup de frustration et de dépression, ainsi qu’un refus de poursuivre son travail, mais grâce à l’aide et aux encouragements de son ancien doctorant Richard Taylor, Wiles a continué à travailler dur et a trouvé la solution qu’il a publiée en 1995.

La preuve proposée par Wiles est indirecte, puisqu’elle prouve quelque chose de beaucoup plus large, la conjecture de Taniyama, fondamentale des mathématiques modernes, du nom du japonais Yutaka Taniyama. Il fait référence à des courbes elliptiques, des équations mathématiques qui donnent naissance à des objets similaires à la surface d’un beignet. Si le théorème de Fermat n’était pas vrai, c’est-à-dire si les équations avaient des solutions, elles donneraient lieu à certaines courbes elliptiques inexistantes.

En 2016, le Dr Wiles a reçu le prix Abel de l’Académie norvégienne des sciences et des lettres, qui équivaut au prix Nobel de mathématiques, doté de 600 000 euros, pour avoir confirmé cette conjecture mathématique. Cependant, Wiles n’est pas arrivé à temps pour recevoir la prestigieuse médaille Fields puisqu’elle n’est décernée qu’aux mathématiciens de moins de 40 ans. La période d’examen, 2 ans, qu’il a utilisée pour trouver le bogue, avec Richard Taylor, lui a valu 42 ans lorsque la preuve a été publiée. La réussite de Wiles a été largement récompensée par d’autres prix, dont le prix King Faisal de 200 000 $, le prix Wolfskehl, le prix Schock de mathématiques de l’Académie royale des sciences de Suède et le prix Fermat de l’Université Paul Sabatier, entre autres.

Andrew Wiles était très fier de sa réussite, déclarant :

« … il n’y a pas d’autre problème qui va signifier la même chose pour moi. J’ai eu ce rare privilège de pouvoir réaliser à l’âge adulte ce qui avait été mon rêve d’enfant. Je sais que c’est un privilège rare, mais je sais que si cela peut être fait, c’est plus gratifiant que tout ce que l’on peut imaginer.”

Miguel Pocovi (29-06-2020)