Gagnez des jeux en utilisant la mécanique quantique | Science

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Nous avons commencé par proposer un jeu collaboratif à deux joueurs, que nous appellerons Alicia et Berto. Le jeu est connu sous le nom de carré magique (jeu de carré magique) et la meilleure façon de comprendre ses règles est de considérer un carré comme celui de la figure 1. Nous choisissons une ligne du carré de manière aléatoire et nous demandons à Alicia d'attribuer un zéro ou un un à chacune des trois cases qui forment ladite ligne. , de sorte que la somme totale de ces nombres soit un nombre couple. De manière analogue, nous avons demandé à Berto une attribution de zéros et de nuls pour les trois cases formant une colonne aléatoire, en ajoutant dans ce cas un nombre étrange. Les joueurs remportent la partie si les assignations effectuées correspondent à l'élément de la boîte commune à la rangée et à la colonne choisies (voir Figure 2).

La difficulté de gagner réside dans le fait que les joueurs ne peuvent pas communiquer entre eux pendant le jeu et que, par conséquent, Alicia ne connaît pas la colonne jouée par Berto ni la tâche qu’il a faite et vice-versa. Cependant, les joueurs peuvent se rencontrer avant de commencer à s’entendre sur une stratégie. S'ils suivent une stratégie déterministe, l'attribution qu'ils donneront à chaque ligne et colonne doit être préfixée à l'avance. Dans ce cas, un stratégie parfaite (celui qui gagne indépendamment de la ligne et de la colonne choisie) consisterait à remplir le carré avec des zéros et des uns afin que chaque ligne ajoute un nombre pair et que chaque colonne ajoute un nombre impair en même temps. Le défi consiste à prouver que c’est impossible (voir figure 3) et qu’il n’existe donc pas de stratégie déterministe parfaite pour ce jeu.

Cependant, étonnamment, il est physiquement possible de mettre en œuvre une stratégie parfaite pour gagner ce match. Jusqu'ici, nous avons implicitement supposé que les systèmes physiques partagés par les joueurs pour élaborer leurs stratégies et choisir leurs assignations étaient régis par les lois de la physique classique (par exemple, un carré avec des assignations comme celle de la figure 3). Cela conduit essentiellement à des stratégies déterministes. Cependant, si les joueurs peuvent partager des systèmes physiques dont le comportement est régi par les lois de la mécanique quantique (comme, par exemple, une paire de particules dans un état quantique enchevêtré), ils seront alors en mesure de développer des stratégies parfaites tout en respectant la restriction du non. communication Pour cela, les joueurs effectueraient les assignations correspondantes en fonction du résultat que chacun obtiendrait après avoir fait une certaine mesure sur la particule de l'état entrelacé auquel il a accès.

Le carré magique fait partie d'une classe de jeux appelée jeux non locaux. En eux, l'avantage des stratégies quantiques par rapport aux stratégies classiques est une conséquence directe du soi-disant théorème de Bell, qui établit l'incompatibilité de la théorie quantique avec les théories déterministes locales. L'exemple que nous avons considéré donne une idée intuitive de l'avantage quantique des tâches de traitement de l'information. Il est basé sur le développement actuel de technologies quantiques telles que les systèmes cryptographiques ou les générateurs de nombres aléatoires. Cependant, comprendre quels jeux non locaux donnent lieu à un avantage quantique et quelle est la probabilité optimale de victoire dans chaque cas nécessite de s'immerger complètement dans la structure mathématique complexe de la théorie quantique.

Étonnamment, ce type de questions est lié à des problèmes ouverts de mathématiques pures qui, dans leur formulation, n’ont rien à voir avec des jeux ni avec la théorie quantique. L’un d’eux est le problème de l’isomorphisme d’Alain Connes (Problème d'embouteillage de Connes), formulée dans les années 70 dans l’étude des appels Algèbres d'opérateurs et cela reste à résoudre aujourd'hui. Ces algèbres apparaissent pour la première fois dans un article du mathématicien John von Neumann en 1930. Fait intéressant, à cette époque, von Neumann étudia également les fondements mathématiques de la mécanique quantique alors naissante. Ces deux disciplines, bien que développées indépendamment, se sont croisées à plusieurs reprises. Près de cent ans après sa naissance, ils se retrouvent, cette fois dans le cadre de la théorie de l'information.

Ce thème et d'autres sujets connexes ont été abordés dans le semestre thématique que nous avons organisé à l'ICMAT de mars à juin 2019 et qui a rassemblé plus d'une centaine de chercheurs de différentes disciplines.

Julio de Vicente Il est professeur au département de mathématiques de l'Université Carlos III de Madrid.

Fernando Lledó Il est professeur au département de mathématiques de l'Université Carlos III de Madrid et membre de l'ICMAT.

Diego Martínez Il est titulaire d'un doctorat de l'Université Carlos III de Madrid et de l'ICMAT, ainsi que d'un boursier pré-doctoral du projet Severo Ochoa.

Carlos Palazuelos Il est professeur au département d'analyse mathématique et de mathématiques appliquées de l'Université Complutense de Madrid et membre de l'ICMAT.

Café et Théorèmes est une section consacrée aux mathématiques et à l'environnement dans lequel elles sont créées, coordonnée par l'Institut de sciences mathématiques (ICMAT), dans laquelle chercheurs et membres du centre décrivent les dernières avancées de cette discipline, partagent des points de contact entre les mathématiques et autres expressions sociales et culturelles et rappellent à ceux qui ont marqué leur développement et su transformer le café en théorèmes. Le nom évoque la définition du mathématicien hongrois Alfred Rényi: "Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes".

Edition et coordination: Agate Rudder (ICMAT).

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