L’estimation de la hauteur d’une maquette de la tour Eiffel est un cas où l’intuition peut tromper. Beaucoup pensent qu’une maquette en fer d’un kilo aurait la taille d’une bouteille d’un litre. En réalité, elle mesurerait environ un mètre cinquante. La tour Eiffel apparaît comme une masse de fer imposante, mais c’est une structure étonnamment légère.

La tour Eiffel mesure environ 300 mètres et pèse 8000 tonnes. Elle est donc 8 millions de fois plus grande qu’une maquette d’un kilo. Son hauteur est 200 fois plus importante (200³ = 8000000). La hauteur de la maquette serait donc d’environ 1,5 mètre.

L’intuition est souvent mise à mal face aux croissances exponentielles, comme les progressions géométriques. L’exemple classique est celui de l’inventeur des échecs. Il demanda un grain de blé pour la première case, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, et ainsi de suite.Il est difficile d’imaginer qu’avec les grains des 64 cases, on pourrait couvrir la péninsule Ibérique sous plusieurs mètres de blé. Ou qu’en pliant une feuille 43 fois, on atteindrait une épaisseur équivalente à la distance Terre-Lune.

Savez-vous pourquoi ces progressions sont dites géométriques ? Et les progressions arithmétiques ? Si vous l’ignorez, avez-vous une explication ?

### Le damier et ses variantes

À propos de l’échiquier et de ses multiples variations, supports inépuisables d’énigmes, un ami m’a récemment soumis un problème apparenté à celui des huit dames. Le problème des huit dames consiste à placer huit dames sur un échiquier vide sans qu’aucune ne menace les autres [1]. L’énigme proposée consiste à placer 18 jetons sur une grille de 6×6. Chaque rangée, colonne et diagonale doit contenir exactement trois jetons.

Peut-on généraliser ce problème à d’autres grilles paires ?

Sur une grille de 2×2, il est impossible de placer deux jetons selon les règles. Soit ils sont adjacents, soit en diagonale.

Sur une grille de 4×4, peut-on placer huit jetons avec deux par rangée, colonne et diagonale ?

Sur un échiquier standard de 8×8, peut-on placer 32 jetons avec quatre par rangée, colonne et diagonale ?

Plus difficile encore :

Peut-on prouver que sur toute grille de 2n x 2n (n étant un entier supérieur à 1), on peut placer 2n² jetons avec n jetons par rangée, colonne et diagonale ?

La Tour Eiffel : Illusion d’échelle et Progressions Géométriques

L’estimation de la taille d’une maquette de la Tour Eiffel illustre parfaitement comment l’intuition peut être trompeuse face aux problèmes d’échelle. Une maquette en fer d’un kilogramme ne ressemblerait pas à une simple bouteille d’un litre, mais mesurerait plutôt environ 1,5 mètre de haut. La Tour Eiffel, bien que paraissant massive, est étonnamment légère pour sa taille. Avec ses 300 mètres de hauteur et ses 8000 tonnes, elle est environ 8 millions de fois plus grande qu’une maquette d’un kilo (200³ = 8 000 000).

progressions Géométriques vs. arithmétiques

L’exemple de la maquette, tout comme celui du problème du grain de blé sur un échiquier ou celui de la feuille pliée 43 fois, met en lumière la puissance des progressions géométriques. Dans une progression géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant (la raison). Ainsi, le nombre de grains de blé double à chaque case de l’échiquier, créant une croissance exponentielle. En revanche, une progression arithmétique voit chaque terme augmenter d’une valeur constante (la raison).

Pourquoi ces progressions sont-elles différentes ? Dans une progression géométrique, la croissance est multiplicative, conduisant à des augmentations rapides et impressionnantes. Dans une progression arithmétique, la croissance est additive, beaucoup plus linéaire et prévisible.

Le Damier et ses énigmes

Le problème des 18 jetons sur une grille 6×6, similaire au problème des huit dames, soulève des questions intéressantes sur la combinatoire.Le défi consiste à placer les jetons de sorte que chaque rangée, colonne et diagonale contienne exactement trois jetons.

Voici un tableau résumant la difficulté du problème pour différentes tailles de grilles :

| Taille de la grille | Nombre de jetons | Solution possible ? |

|—|—|—|

| 2×2 | 2 | Non |

| 4×4 | 8 | À déterminer |

| 8×8 | 32 | À déterminer |

| 2n x 2n (n>1) | 2n² | À prouver |

La généralisation à des grilles de taille 2n x 2n, avec n jetons par rangée, colonne et diagonale, représente un problème mathématique complexe.Déterminer si une solution existe pour toutes les valeurs de n nécessite une démonstration rigoureuse.

FAQ

Q : Qu’est-ce qu’une progression géométrique ?

R : Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant.

Q : Qu’est-ce qu’une progression arithmétique ?

R : Une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au précédent.

Q : Est-il possible de résoudre l’énigme des 18 jetons sur une grille 6×6 ?

R : La résolution nécessite une analyze combinatoire, et la réponse n’est pas immédiatement évidente.

Q : Existe-t-il une solution pour le problème des 32 jetons sur un échiquier standard ?

R : Cela requiert une analyse approfondie et la réponse n’est pas triviale.