Le chiffre 8 | Le jeu des sciences

Il s’agit de la livraison numéro 416 de Le jeu des sciencesce qui signifie qu’il apparaît en continu depuis 8 ans, semaine après semaine, dans les pages de MATÉRIEL. Une bonne occasion de remercier, une fois de plus, les lecteurs qui, par leurs commentaires nombreux et enrichissants, ont fait de cette rubrique plus qu’une simple chronique de vulgarisation et de passe-temps mathématiques.

Le nombre 416 n’est pas particulièrement intéressant, mais 8 n’est pas perdu : c’est un cube parfait (le plus petit après le cas trivial de 1), c’est la seule puissance positive qui diffère d’une unité d’une autre puissance positive, c’est un Fibonacci nombre , c’est un nombre de Leyland, c’est un nombre de gâteau, c’est un nombre de tau, c’est un nombre panarithmique… Et, couché, il représente l’infini.

En 1884, le mathématicien belge Eugène Catalan (celui des nombres qui portent son nom, dont nous avons traité plus d’une fois) a conjecturé que 8 et 9 (2³ et 3²) étaient les seules puissances des nombres naturels consécutifs. La conjecture a été prouvée en 2002 par le mathématicien roumain Preda Mihailescu, donc l’ancienne conjecture de Catalan s’appelle maintenant le théorème de Mihailescu.

8 est le sixième nombre de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8… Existe-t-il un autre terme de la suite qui, comme 8 — et sans compter le cas trivial de 1 — est un cube parfait ?

Les nombres de Leyland (d’après le mathématicien britannique Paul Leyland) sont ceux de la forme xʸ + yᵡ, où x et y sont des entiers supérieurs à 1, pas nécessairement distincts. Le premier d’entre eux est donc 2² + 2² = 8. Les premiers nombres de Leyland sont :

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320…

Pourquoi pensez-vous que 1 est exclu pour les valeurs de x et y ?

Un nombre de secteurs d’ordre n est le nombre maximum de régions dans lesquelles un cube peut être divisé par n plans. Le nom vient d’une énigme bien connue (dont nous avons traité à un moment donné) qui demande de diviser un gâteau en 8 parties égales avec seulement 3 coupes. Et 8 est donc le numéro de la tarte d’ordre 3. Les premiers numéros de la tarte sont :

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93…

Le premier terme, 1, correspond à 0 plans, c’est-à-dire à la partition nulle. Pouvez-vous trouver une formule générale pour les nombres de tarte ?

Un nombre tau ou un nombre refactorisable est un nombre qui est divisible par le nombre de diviseurs qu’il a (y compris 1 et le nombre lui-même). Puisque 8 a quatre diviseurs (1, 2, 4 et 8) et est divisible par 4, 8 est un nombre refactorisable. Les premiers nombres tau sont :

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40…

En ce qui concerne l’utilisation d’un 8 couché comme symbole de l’infini (∞), remonte au XVIIe siècle. C’est le mathématicien anglais John Wallis, précurseur du calcul infinitésimal, qui l’utilisa pour la première fois, apparemment inspiré du symbole grec pour ouroboros, le serpent qui se mord la queue comme représentation d’un cycle sans fin.

Par contre, il ne faut pas oublier la présence récurrente de 8 en géométrie (et très spécifiquement par rapport aux solides et hypersolides platoniciens) : 8 est le nombre de symétries d’un carré, le nombre de sommets d’un cube, le nombre de faces d’un octaèdre, le nombre de cellules d’un hypercube, il y a 8 deltaèdres convexes (dont le tétraèdre régulier, l’octaèdre et l’icosaèdre)… Tout cela suffit pour quelques articles de plus.

Et sûrement mes lecteurs avisés découvriront d’autres caractéristiques notables de l’inépuisable nombre 8.

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