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Dans Infinity, les droites et les carrés ont un nombre égal de points

Dans Infinity, les droites et les carrés ont un nombre égal de points

Dans les articles précédents, nous avons établi que deux ensembles sont de la même taille s’il existe une correspondance biunivoque entre les éléments des deux ensembles. L’application de ce principe à la théorie de l’infini de Cantor nous amène à la conclusion étrange mais valable que le nombre de points sur un segment de droite est le même que le nombre de points dans un carré. Pour montrer que cela est vrai, voici une image d’un segment de ligne de longueur unitaire et d’un carré unitaire.

Choisissons un point sur le segment de droite. Disons 0,6917381276543… . Il est représenté par un gros point bleu sur le segment de droite à gauche. Si ce point correspond à un nombre irrationnel, cela continue indéfiniment sans se répéter ou montrer un schéma discernable.

Nous allons diviser ce nombre en deux nombres. Le premier nombre est un chiffre sur deux. Ce nombre est affiché en rouge sous le segment de ligne, à savoir 0,6131753… . Les chiffres restants forment le deuxième nombre, affiché en vert. C’est 0,978264… .

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Un seul nombre compris entre zéro et un peut ainsi être décomposé en deux nombres compris entre zéro et un. Nous pouvons prendre ces deux nombres et comme coordonnées x et y sur le carré unité indiqué à droite. Ils définissent le point bleu affiché dans le carré de droite. Ainsi, le point bleu sur le segment de ligne correspond au point bleu dans le carré.

Pour chaque point du segment de droite, il y a un et un seul point bleu dans le carré. La taille des ensembles de l’infini sur un segment de droite et dans un carré sont exactement les mêmes. Une extension de cet argument montre que le nombre de points dans un cube est le même que le nombre de points sur un segment de droite. C’est contre-intuitif et bizarre.

Le mappage inverse du carré au segment de ligne est également possible. Prenez les deux coordonnées définissant le point bleu dans le carré et mélangez-les pour obtenir un nombre. Deux nombres entre zéro et un peuvent toujours être combinés pour former un seul nombre entre un et zéro. Ce nouveau nombre est le point sur le segment de droite.

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Puisqu’il existe une correspondance un à un de chaque point du segment de ligne à chaque point du carré, le nombre de points sur un segment de ligne est le même que le nombre de points dans un carré.

Mais ne pouvez-vous pas dessiner un segment de ligne et un carré sur une feuille de papier et faire la cartographie ? N’est-ce pas une illustration de l’infini dans la réalité ? Non. Chaque point est supposé être mesuré avec une précision infinie. La précision en réalité est toujours finie. Ainsi, la conclusion qu’il n’y a pas d’infinis dans la réalité est solide.

Ce résultat contre-intuitif, conduit par la théorie des infinis de Cantor est étrange. Néanmoins, c’est une propriété valable de l’infini.

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Voici la partie 1 : Pourquoi l’infini n’existe pas dans la réalité. Quelques exemples montreront les résultats absurdes qui découlent de l’hypothèse que l’infini existe dans le monde qui nous entoure comme c’est le cas en mathématiques. Dans une série de cinq articles, j’explique la différence entre ce que l’infini signifie – et ne signifie pas – en tant que concept.

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et

Partie 2. Infinity illustre que l’univers a un début. Les conséquences logiques d’un passé littéralement infini sont absurdes, comme le montrera une simple illustration. Les absurdités qu’un temps passé infini créerait, bien qu’il ne s’agisse pas d’une preuve mathématique définitive, sont des preuves solides que notre univers a eu un commencement.

Vous pouvez également lire : Oui, vous pouvez manipuler l’infini en mathématiques. Les hyperreals sont plus grands (et plus petits) que votre nombre moyen – et mieux ! (Jonathan Bartlett)

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