ce que les mathématiques savaient déjà sur le multivers

Cela vaut la peine de se demander si la cause est l’intrigue (le multivers), la production (beaucoup de montage et peu d’interprétation), l’injustice des prix, ou tout cela.

Ce n’est pas la première fois (et ce ne sera pas la dernière) que la science-fiction et la fantasy recourent à des thèmes apparemment tordus : « Matrix » (Hermanas Wachowski, 1999), « Origin » (Christopher Nolan, 2010), parmi tant d’autres ; et Et ils ne sont pas exactement brefs non plus… Ni que différentes expressions visuelles apparaissent (le mouvement Dogma, par exemple), ou que des prix intéressés soient décernés. En tout cas, puisqu’il ne s’agit pas ici de parler de cinéma, passons aux mathématiques.

Le « multivers » mathématique

Il est courant d’entendre des enseignants et des mathématiciens (s’adressant à leurs élèves, avant tout, avec un désir motivant) que les mathématiques contiennent tout, que nous pouvons toujours trouver un concept ou un résultat qui envisage n’importe quelle idée (c’est ce que la généralisation a, le fondement de base mathématiques). Et ce n’est pas un cas différent.

L’existence de différents univers parallèles ou multivers (idée et nom datant de 1895, définis par le psychologue William James) est évidente dans les différents ensembles de nombres existant en mathématiques. On commence par les nombres naturels, qui servent à compter, c’est-à-dire N = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Ici, soit dit en passant, une polémique commence : il y a ceux qui considèrent aussi le zéro comme naturel, et d’autres non. Je ne vais pas m’étendre sur ce sujet maintenant, mais je m’aligne avec ceux qui ne le prennent pas pour naturel, car si ce sont eux qui servent à dire les choses, quand il n’y a rien à dire, on n’a besoin de rien , parce que vous n’avez rien.

Après le besoin de compter, apparaît le besoin de faire des opérations. Par exemple, ajouter plus d’objets à ceux que vous avez déjà, définir la somme ou l’addition. Pour cette opération, nous n’avons plus besoin de nombres car la somme de deux nombres naturels est toujours un nombre naturel. Cependant, lorsque l’homme a besoin de faire des transactions commerciales, des échanges, des paiements, etc., la soustraction ou la soustraction apparaît. Et nous savons tous ce qui se passe lorsque nous devons plus que nous n’avons. Nous avons besoin d’un autre type de nombres, les nombres entiers, qui sont tous les nombres naturels proches de zéro et les nombres négatifs. En définitive, l’ensemble

ℤ = { …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

De toute évidence, les naturels sont inclus dans les nombres entiers. C’est-à-dire que les nombres naturels partagent deux « univers » différents : ils peuvent être traités comme des entiers ou comme des naturels, et différentes propriétés régissent chaque site (certaines communes, mais certaines sont différentes). Ensuite, avec l’opération de division, des nombres apparaissent qui ne sont dans aucun de ces deux ensembles. Ensuite on définit les nombres rationnels

La condition que le diviseur soit différent de zéro est évidente, car il ne peut pas être divisé par zéro, et la condition que a et b soient premiers l’un par rapport à l’autre est due au fait que, sans entrer dans les détails techniques, le nombre rationnel est le fraction simplifiée, sans facteurs communs, puisque

c’est-à-dire que bien que les précédentes soient des fractions différentes, elles correspondent néanmoins au même nombre rationnel, 0,5.

Évidemment, les rationnels incluent tous les nombres entiers (puisqu’ils apparaissent lorsque le dénominateur b est – 1 ou 1). Donc, là on a le chiffre 2, par exemple, dans trois univers différents pour l’instant, celui des naturels, celui des entiers et celui des rationnels. Par la suite, la nécessité de calculer des longueurs apparaît, avec elles l’opération racine (carré, cubique, etc.), et il est nécessaire de définir des nombres irrationnels, qui sont ceux qui n’ont pas de racine exacte (comme 2 , 3 , 32

etc.), ainsi que des nombres avec un nombre infini de décimales non récurrentes (tels que , e, etc.). Lorsque le rationnel et l’irrationnel sont réunis en un seul ensemble, les nombres réels apparaissent. Et quand on passe à deux dimensions (c’est-à-dire qu’on part d’une seule ligne, pour considérer des objets avec base et hauteur, c’est-à-dire des points sur le plan, désignés par deux coordonnées, comme le point (1, 2) du graphique,

les nombres complexes apparaissent. Ainsi le nombre 2 apparaît dans plusieurs “univers”: les naturels, les entiers, les rationnels, les réels…, et les complexes, car 2 peut s’exprimer par 2 + 0i, étant i l’unité imaginaire ( ce que je préviens pour ceux qui sont trop « imaginatifs » : on l’appelle imaginaire, non pas parce qu’il n’existe pas, mais parce qu’il est sur l’axe OY, celui des « images »). Dans cette revue précédente de l’ABCdario de las Matemáticas, les différents types de nombres ont été décrits plus en détail.

Systèmes de numérotation

Peut-être que certaines personnes, celles d’entre nous qui étudient GBS par exemple, se souviennent en revanche qu’un même numéro peut avoir des “apparences” différentes selon la base de numérotation utilisée. Ainsi, par exemple, le nombre 11 en base décimale, passé en binaire, c’est-à-dire en base 2 (où seuls 0 et 1 existent), s’exprime sous la forme 1011 (ici nous avons déjà expliqué comment un nombre en base décimale est passé en binaire). Il est clair pourquoi :

Mais c’est qu’en base 3 (c’est-à-dire dans “l’univers” où seuls les chiffres 0, 1, 2 existent), 11 a l’apparence 102

Pour chaque base numérique b, avec 2  b  11, elle aura un « look » différent :

Ainsi, le nombre 11, en plus d’être dans “l’univers” des nombres naturels, des nombres entiers, des nombres rationnels, des nombres réels et des nombres complexes, “apparaît” également sous des aspects différents selon la base de numérotation dans laquelle il “vit”. Ces bases de numération se retrouvent dans d’autres ensembles algébriques appelés anneaux, corps, modules, etc., selon les propriétés qu’ils remplissent (rappelez-vous celles de l’associatif, commutatif, etc.). Ainsi, être en base 2 équivaut à faire partie du corps commutatif ℤ/(2), en base 3 ce serait ℤ/(3), etc. En général, il existe les ensembles ℤ/(n), où n est un nombre naturel quelconque. Et vous savez déjà qu’il existe des nombres naturels infinis, donc les déclarations du film “L’univers est beaucoup plus grand que vous ne l’imaginez” ou “Il existe un multivers infini”, ne disent rien d’extravagant, …. dans le monde des mathématiques. Au cas où quelqu’un penserait que ce sont des mathématiques très compliquées, rien de tout cela : ce sont des mathématiques élémentaires, d’une première année d’algèbre abstraite tout au plus.

Je vous laisse avec un défi simple lié à cela, qui aurait très bien pu être dans le film : trouver un personnage qui ressemble à xyz dans l’« univers » de base 7 et qui en passant l’« univers » de base 9 apparaît comme zyx. À quoi ressemble-t-il dans notre monde décimal ? Oserez-vous le découvrir ? (Il suffit d’avoir compris ce qui a été dit ici, et bien sûr d’en tenir compte).

Aussi en géométrie

Mais les nombres ne sont pas les seuls à habiter les multivers. Il y a même des résultats, des théorèmes, qui ont des formulations différentes à différents endroits, bien qu’ils répondent à la même idée. Dans un autre article de cette section, nous avons expliqué comment la géométrie projective est apparue et ce qu’elle était. Rappelons, pour comprendre ce qui va suivre, que des droites parallèles n’existent pas dans le plan projectif : elles se coupent toutes au point dit de l’infini. Dans ce contexte, il y a le principe de dualité, dans lequel chaque proposition correspond à une autre simplement en changeant quelques mots clés (et cela n’arrive pas dans “l’univers” de la géométrie euclidienne). L’énoncé suivant est clair :

Chaque paire de points distincts détermine une seule ligne droite.

Changeons grammaticalement point en ligne et ligne en point, et lisons ce qui apparaît :

Chaque paire de lignes distinctes détermine un seul point.

Ce sont des propositions différentes, elles indiquent des choses différentes, mais l’une découle de l’autre simplement par un échange de mots. Ce sont des phrases doubles. Et il n’y a pas que des théorèmes duaux dans le plan projectif. Il y a aussi des figures, des objets, des duels (il y a même des objets auto-duels).

autres disciplines

L’idée de multivers apparaît également en Physique (mécanique quantique, principe d’incertitude de Heisenberg, le célèbre chat de Schrödinger, entre autres exemples), en Philosophie, Mythologie et Religion (qu’est-ce que la réincarnation bouddhiste sinon une existence dans des univers différents ? ou la Judéo- Dieu chrétien qui est un et trinitaire (vous savez, père, fils et esprit saint, en plus d’être omniprésent), en psychologie (lorsque nous rêvons, nous visitons un autre univers différent du vrai ; le psychotique Norman Bates de Psychose ( Alfred Hitchcock, 1961) a également “vécu” dans deux univers parallèles), en Littérature (voyage dans le temps, aventures d’Alice dans un certain pays), en Cosmologie, en Astronomie, etc. Le lecteur qui a suivi cet article aura également visité quatre “univers”.

Les liens ou hyperliens sont désormais appelés les références bibliographiques d’une vie. Bref, rien de nouveau sous le soleil, le multivers a longtemps été assez galvaudé pour se laisser surprendre par un film. Qu’est-ce que l’argument est médiocre? Je ne l’ai pas encore vu, mais je suis sûr que ce ne sera pas pire que certains qui me viennent à l’esprit, bien qu’il ne semble pas digne d’autant de butin que celui obtenu. Mais bien sûr, je ne serai jamais surpris par quelque chose que je n’ai pas vu dans le monde des mathématiques. Il se peut même qu’un scénariste en manque d’idées y trouve des arguments intéressants….

* L’ABCdario de las Matemáticas est une section née de la collaboration avec la Comisión de Divulgación de la Société royale espagnole de mathématiques (RSME).